A função f\) dada por \[f(x)= \begin{cases}\frac{|x-3|}{x-3} & \text { se } x \neq 3 \\\\ 1 & \text { se } x=3\end{cases}
é contínua em (x=3] ? Justifique.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)= \begin{cases}\dfrac{|x-3|}{x-3} & \text{se } x \neq 3,\\[6pt] 1 & \text{se } x=3.\end{cases}
O que é pedido: determinar se f é contínua em x=3 e justificar a resposta.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão \dfrac{|x-3|}{x-3} é válida apenas para x\neq 3 (divisão por zero proibida).
  • Está definido explicitamente que f(3)=1.]

Passo 2

Lembrete rápido sobre valor absoluto: para qualquer número real t\), \[|t|=\begin{cases}t & \text{se } t\ge 0,\\\\ -t & \text{se } t<0.\end{cases}
Aplicando isso com t=x-3\], obtemos, para \[x\neq 3,
|x-3|=\begin{cases}x-3 & \text{se } x>3,\\[2pt] -(x-3) & \text{se } x<3.\end{cases}
Como a expressão original divide por x-3\], para \(x>3 e x<3 podemos simplificar explicitamente.]

Passo 3

Calcule a expressão para x>3. Usando |x-3|=x-3,
\frac{|x-3|}{x-3}=\frac{x-3}{x-3}=1\qquad\text{para }x>3.

Passo 4

Calcule a expressão para x<3. Usando |x-3|=-(x-3),
\frac{|x-3|}{x-3}=\frac{-(x-3)}{x-3}=-1\qquad\text{para }x<3.

Passo 5

Resumo do comportamento fora de x=3\): para \(x\neq 3\), \[f(x)=\begin{cases}1 & \text{se } x>3,\\[2pt]-1 & \text{se } x<3.\end{cases}
Ou seja, à direita de 3\] a função vale \(1 constantemente, e à esquerda de 3 vale -1 constantemente.]

Passo 6

Calcule as limites laterais em x=3:
\lim_{x\to 3^+} f(x)=1, \qquad \lim_{x\to 3^-} f(x)=-1.
Como as duas limites laterais são diferentes, o limite \lim_{x\to 3} f(x) não existe (um limite existe só se as duas laterais coincidirem).

Passo 7

A definição de continuidade em x=3 exige que exista \lim_{x\to 3} f(x) e que esse limite seja igual a f(3). Aqui temos f(3)=1 (dado), mas \lim_{x\to 3} f(x) não existe porque as duas limites laterais são diferentes; portanto a igualdade necessária para continuidade não é satisfeita.

Resposta

Não, f não é contínua em x=3.

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