Calcule os seguintes limites:
\quad \lim _{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)^{5}}{x^{5}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 1} \frac{(x-1)^{5}}{x^{5}-1}.
Informações dadas:
  • A expressão é \dfrac{(x-1)^{5}}{x^{5}-1}.
  • O ponto onde o limite deve ser tomado é x\to 1.

Passo 2

Verificar a substituição direta para ver se a forma é indeterminada. Substituindo x=1:
\text{numerador}=(1-1)^{5}=0,\qquad \text{denominador}=1^{5}-1=0.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada 0/0. Isso indica que precisamos manipular algebricamente a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 3

Usar a fatoração da diferença de potências. Existe a identidade geral
a^{n}-b^{n}=(a-b)\bigl(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1}\bigr).
Aplicando com a=x, b=1 e n=5 obtemos:
x^{5}-1=(x-1)\bigl(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\bigr).
(Quem quiser pode verificar multiplicando o fator (x-1) pelo polinômio entre parênteses.)

Passo 4

Para x\neq 1 podemos cancelar o fator comum (x-1) no numerador e no denominador. Assim, para x\neq 1,
\frac{(x-1)^{5}}{x^{5}-1}=\frac{(x-1)^{5}}{(x-1)\bigl(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\bigr)}=\frac{(x-1)^{4}}{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}.
A propriedade usada é que limites dependem do comportamento arbitrariamente próximo de x=1, então podemos trabalhar com essa forma simplificada e depois tomar o limite.

Passo 5

Agora avaliamos o limite da forma simplificada. Primeiro calcular o limite do denominador substituindo x\to 1:
\lim_{x\to 1}\bigl(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\bigr)=1^{4}+1^{3}+1^{2}+1+1=5.
O numerador é (x-1)^{4}, cujo limite quando x\to 1 é (1-1)^{4}=0. Como o denominador tende a 5\neq 0, podemos simplesmente dividir os limites:
\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)^{4}}{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}=\frac{0}{5}=0.

Passo 6

Comentário rápido sobre a escolha do método: a fatoração da diferença de potências é a maneira mais direta e rápida aqui (evita aplicar a Regra de L’Hôpital várias vezes). É um truque padrão para limites envolvendo x^n-1 e potências de (x-1).

Resposta

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