Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é
. - O ponto onde o limite deve ser tomado é
.
Passo 2
Verificar a substituição direta para ver se a forma é indeterminada. Substituindo
:
Portanto a expressão tem a forma indeterminada
. Isso indica que precisamos manipular algebricamente a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 3
Usar a fatoração da diferença de potências. Existe a identidade geral
Aplicando com
,
e
obtemos:
(Quem quiser pode verificar multiplicando o fator
pelo polinômio entre parênteses.)
Passo 4
Para
podemos cancelar o fator comum
no numerador e no denominador. Assim, para
,
A propriedade usada é que limites dependem do comportamento arbitrariamente próximo de
, então podemos trabalhar com essa forma simplificada e depois tomar o limite.
Passo 5
Agora avaliamos o limite da forma simplificada. Primeiro calcular o limite do denominador substituindo
:
O numerador é
, cujo limite quando
é
. Como o denominador tende a
, podemos simplesmente dividir os limites:
Passo 6
Comentário rápido sobre a escolha do método: a fatoração da diferença de potências é a maneira mais direta e rápida aqui (evita aplicar a Regra de L’Hôpital várias vezes). É um truque padrão para limites envolvendo
e potências de
.