Calcule os seguintes limites:
q)
q)
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
.
Informações dadas e observações iniciais:
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão é a função
. - Se fizermos a substituição direta
obtemos numerador e denominador . Logo a forma é a indeterminação , o que indica que é necessário manipular a expressão antes de avaliar o limite.
Passo 2
Ferramenta algébrica que vamos usar: a identidade da diferença de quadrados. Ela diz que, para quaisquer
e
,
Aqui podemos usar essa identidade com
e
, porque
e
. Aplicando a identidade:
Passo 3
Agora fatoramos o numerador
. Primeiro note que também é uma diferença de quadrados:
Substituindo a fatoração de
obtida no passo anterior:
Passo 4
Reescrevemos a razão original usando essa fatoração:
Repare que
. Portanto podemos cancelar o fator que causa a indeterminação:
para todo
próximo de
(exceto exatamente
onde a expressão original não está definida, mas a forma simplificada é válida como função auxiliar para o limite).
Passo 5
Explicando: após o cancelamento obtemos uma expressão algébrica simples
que é contínua em
. Para limites de funções contínuas, o limite quando
é simplesmente o valor da função no ponto
. Assim podemos avaliar diretamente substituindo
.
Passo 6
Avaliação em
:
Calculemos
:
. Portanto o valor é
.