Calcule os seguintes limites:
q) \quad \lim _{x \rightarrow 9} \frac{x^{2}-81}{3-\sqrt{x}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \displaystyle \lim_{x\to 9}\frac{x^{2}-81}{3-\sqrt{x}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é a função f(x)=\dfrac{x^{2}-81}{3-\sqrt{x}}.
  • Se fizermos a substituição direta x=9 obtemos numerador 9^{2}-81=81-81=0 e denominador 3-\sqrt{9}=3-3=0. Logo a forma é a indeterminação 0/0, o que indica que é necessário manipular a expressão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Ferramenta algébrica que vamos usar: a identidade da diferença de quadrados. Ela diz que, para quaisquer a e b,
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui podemos usar essa identidade com a=\sqrt{x} e b=3, porque (\sqrt{x})^{2}=x e 3^{2}=9. Aplicando a identidade:
x-9=(\sqrt{x})^{2}-3^{2}=(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3).

Passo 3

Agora fatoramos o numerador \,x^{2}-81. Primeiro note que também é uma diferença de quadrados:
x^{2}-81=(x-9)(x+9).
Substituindo a fatoração de x-9 obtida no passo anterior:
x^{2}-81=(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)(x+9).

Passo 4

Reescrevemos a razão original usando essa fatoração:
\frac{x^{2}-81}{3-\sqrt{x}}=\frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)(x+9)}{3-\sqrt{x}}.
Repare que \sqrt{x}-3=-(3-\sqrt{x}). Portanto podemos cancelar o fator que causa a indeterminação:
\frac{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)(x+9)}{3-\sqrt{x}} = \frac{- (3-\sqrt{x})(\sqrt{x}+3)(x+9)}{3-\sqrt{x}} = -(\sqrt{x}+3)(x+9),
para todo x próximo de 9 (exceto exatamente x=9 onde a expressão original não está definida, mas a forma simplificada é válida como função auxiliar para o limite).

Passo 5

Explicando: após o cancelamento obtemos uma expressão algébrica simples -(\sqrt{x}+3)(x+9) que é contínua em x=9. Para limites de funções contínuas, o limite quando x\to 9 é simplesmente o valor da função no ponto x=9. Assim podemos avaliar diretamente substituindo x=9.

Passo 6

Avaliação em x=9:
\sqrt{9}=3,
\sqrt{9}+3=3+3=6,
9+9=18,
-(\sqrt{9}+3)(9+9) = -6\cdot 18.
Calculemos 6\cdot 18: 6\cdot 18=6\cdot(20-2)=120-12=108. Portanto o valor é -108.

Resposta

-108

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