QUESTÃO 03 : Sejam A=\{x \in \mathbb{R} \mid 3 \leq x \leq 7\}, B=\{x \in \mathbb{R} \mid-1<x<\sqrt{5}\} e C= [0,7]. Verifique se é verdade que:
(A \cup B) \cup C=A \cap C.

Passo 1

O enunciado nos dá três conjuntos:
  • A=\{x\in\mathbb{R}\mid 3\le x\le 7\},
  • B=\{x\in\mathbb{R}\mid -1<x<\sqrt{5}\},
  • C=[0,7].
A pergunta é: verificar se a igualdade
(A\cup B)\cup C = A\cap C
é verdadeira ou falsa. Vou listar claramente o que isso pede:
  • Calcular/interpretar o lado esquerdo (A\cup B)\cup C.
  • Calcular/interpretar o lado direito A\cap C.
  • Comparar os dois conjuntos e decidir se são iguais; se não forem, apresentar um contraexemplo (um elemento que está num lado e não no outro).

Passo 2

Lembrete rápido (definições que usarei, explicado passo a passo):
  • A união X\cup Y é o conjunto de todos os elementos que pertencem a X ou a Y (ou a ambos). Em símbolos: x\in X\cup Y se e só se x\in X ou x\in Y.
  • A interseção X\cap Y é o conjunto dos elementos que pertencem a ambos X e Y. Em símbolos: x\in X\cap Y se e só se x\in X e x\in Y.
    Vou usar essas definições para manipular os conjuntos dados.

Passo 3

Observar que A está contido em C. Explico por que: se x\in A, então 3\le x\le 7. Isso implica 0\le x\le 7, portanto x\in C. Logo
A\subset C.
Quando um conjunto está contido em outro, a união com esse maior conjunto não altera o maior conjunto: A\cup C = C. Assim
(A\cup B)\cup C = B\cup C.
(Usei explicitamente que peguei A\subset C dos limites dos intervalos definidos em A e C.)

Passo 4

Agora calcule B\cup C. Lembre que B=(-1,\sqrt{5}) e C=[0,7].
  • Para x com -1<x<0: só B contém esses x, logo estão na união.
  • Para x com 0\le x<\sqrt{5}: tanto B (quando x<\sqrt{5}) quanto C (quando x\ge0) contêm esses x, logo estão na união.
  • Para x com \sqrt{5}\le x\le 7: B não contém esses x (pois x\ge\sqrt{5} está fora de B), mas C contém todos esses x, então estão na união.
Combinando essas partes, a união cobre todos os x tais que -1<x\le 7. Observe que o extremo -1 não está incluído (porque B não inclui -1) e o extremo 7 está incluído (porque C inclui 7). Portanto
B\cup C = (-1,7].
Como vimos antes,
(A\cup B)\cup C = B\cup C = (-1,7].

Passo 5

Calcule A\cap C. Como A\subset C (Passo 3), a interseção de A com C é simplesmente A itself. Assim
A\cap C = A = [3,7].
Expliquei: para todo x, x\in A\cap C se e só se x\in A e x\in C; mas todo x\in A já satisfaz x\in C, então a interseção é A.

Passo 6

Comparar os dois resultados:
(A\cup B)\cup C = (-1,7],\qquad A\cap C = [3,7].
Estes conjuntos NÃO são iguais. Um contraexemplo simples: 0\in (A\cup B)\cup C porque 0\in C, mas 0\notin A\cap C porque 0\notin A (pois A=[3,7]). Portanto a igualdade proposta é falsa.
Adicionalmente, nota rápida: A\cap C=[3,7] é de fato um subconjunto de (A\cup B)\cup C=(-1,7], ou seja, existe inclusão (A\cap C)\subset (A\cup B)\cup C, mas a recíproca não vale.

Resposta

A igualdade é falsa. (A\cup B)\cup C = (-1,7] e A\cap C = [3,7].

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