QUESTÃO 03 : Sejam
e
. Verifique se é verdade que:
.
Passo 1
O enunciado nos dá três conjuntos:
-
, -
, -
.
A pergunta é: verificar se a igualdade
é verdadeira ou falsa. Vou listar claramente o que isso pede:
- Calcular/interpretar o lado esquerdo
. - Calcular/interpretar o lado direito
. - Comparar os dois conjuntos e decidir se são iguais; se não forem, apresentar um contraexemplo (um elemento que está num lado e não no outro).
Passo 2
Lembrete rápido (definições que usarei, explicado passo a passo):
- A união
é o conjunto de todos os elementos que pertencem a ou a (ou a ambos). Em símbolos: se e só se ou . - A interseção
é o conjunto dos elementos que pertencem a ambos e . Em símbolos: se e só se e .
Vou usar essas definições para manipular os conjuntos dados.
Passo 3
Observar que
está contido em
. Explico por que: se
, então
. Isso implica
, portanto
. Logo
Quando um conjunto está contido em outro, a união com esse maior conjunto não altera o maior conjunto:
. Assim
(Usei explicitamente que peguei
dos limites dos intervalos definidos em
e
.)
Passo 4
Agora calcule
. Lembre que
e
.
- Para
com : só contém esses , logo estão na união. - Para
com : tanto (quando ) quanto (quando ) contêm esses , logo estão na união. - Para
com : não contém esses (pois está fora de ), mas contém todos esses , então estão na união.
Combinando essas partes, a união cobre todos os
tais que
. Observe que o extremo
não está incluído (porque
não inclui
) e o extremo
está incluído (porque
inclui
). Portanto
Como vimos antes,
Passo 5
Calcule
. Como
(Passo 3), a interseção de
com
é simplesmente
itself. Assim
Expliquei: para todo
,
se e só se
e
; mas todo
já satisfaz
, então a interseção é
.
Passo 6
Comparar os dois resultados:
Estes conjuntos NÃO são iguais. Um contraexemplo simples:
porque
, mas
porque
(pois
). Portanto a igualdade proposta é falsa.
Adicionalmente, nota rápida:
é de fato um subconjunto de
, ou seja, existe inclusão
, mas a recíproca não vale.
Resposta
A igualdade é falsa.
e
.