Dadas as funções f(x)=x^{2} e g(x)=\sqrt{x}.
b) Mostre que (g \circ f)(x)=|x|, \quad x real.

Passo 1

O enunciado dá duas funções e pede para mostrar uma composição. Informações fornecidas:
  • f(x)=x^{2}.
  • g(x)=\sqrt{x} (a raiz quadrada principal, que por definição retorna um número não negativo).
    O que o exercício pede:
  • Mostrar que (g\circ f)(x)=|x| para todo x real.

Passo 2

Definição útil (o que significa compor funções): para duas funções f e g, a composição (g\circ f) é a função dada por
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big),
desde que f(x) esteja no domínio de g. Vou verificar o domínio da composição: f(x)=x^{2} produz valores x^{2}\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}. Como g(x)=\sqrt{x} está definida para x\ge 0, concluímos que f(x) está sempre no domínio de g. Portanto (g\circ f) está bem definida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 3

Aplicando a definição da composição:
(g\circ f)(x)=g\big(f(x)\big)=g\big(x^{2}\big)=\sqrt{x^{2}}.
Agora resta simplificar \sqrt{x^{2}}. É aqui que entra a relação entre raiz quadrada e valor absoluto.

Passo 4

Propriedade básica (e muito importante): para todo número real u vale
\sqrt{u^{2}}=|u|.
Explico por que isso é verdadeiro, passando por casos (isso é didático e fácil de aplicar na prova):
  • Se u\ge 0, então u^{2}\ge 0 e a raiz quadrada principal de u^{2} é o próprio u (pois u já é não negativo). Ou seja,
\text{se } u\ge 0 \text{ então } \sqrt{u^{2}}=u=|u|.ã
  • Se u<0, escrevendo u=-v com v>0, temos u^{2}=v^{2} e a raiz principal de u^{2} é v, que é -u. Portanto
\text{se } u<0 \text{ então } \sqrt{u^{2}}=v=-u=|u|.ã
Em ambos os casos a raiz retorna o número não negativo associado a u, isto é, o valor absoluto |u|. Assim a igualdade \sqrt{u^{2}}=|u| é demonstrada.

Passo 5

Aplicando a propriedade ao caso u=x: substituindo na expressão da composição obtemos
(g\circ f)(x)=\sqrt{x^{2}}=|x|
para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Comentários finais (úteis para a prova): a composição resulta sempre em números não negativos, como era de se esperar porque |x|\ge 0. Exemplos rápidos para fixar:
  • Para x=3: (g\circ f)(3)=\sqrt{3^{2}}=\sqrt{9}=3=|3|.
  • Para x=-4: (g\circ f)(-4)=\sqrt{(-4)^{2}}=\sqrt{16}=4=|-4|.

Resposta

(g\circ f)(x)=|x|,\quad x\in\mathbb{R}

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