Dadas as funções
e
.
b) Mostre que
real.
b) Mostre que
Passo 1
O enunciado dá duas funções e pede para mostrar uma composição. Informações fornecidas:
-
. -
(a raiz quadrada principal, que por definição retorna um número não negativo).
O que o exercício pede: - Mostrar que
para todo real.
Passo 2
Definição útil (o que significa compor funções): para duas funções
e
, a composição
é a função dada por
desde que
esteja no domínio de
. Vou verificar o domínio da composição:
produz valores
para todo
. Como
está definida para
, concluímos que
está sempre no domínio de
. Portanto
está bem definida para todo
.
Passo 3
Aplicando a definição da composição:
Agora resta simplificar
. É aqui que entra a relação entre raiz quadrada e valor absoluto.
Passo 4
Propriedade básica (e muito importante): para todo número real
vale
Explico por que isso é verdadeiro, passando por casos (isso é didático e fácil de aplicar na prova):
- Se
, então e a raiz quadrada principal de é o próprio (pois já é não negativo). Ou seja,
- Se
, escrevendo com , temos e a raiz principal de é , que é . Portanto
Em ambos os casos a raiz retorna o número não negativo associado a
, isto é, o valor absoluto
. Assim a igualdade
é demonstrada.
Passo 5
Aplicando a propriedade ao caso
: substituindo na expressão da composição obtemos
para todo
.
Passo 6
Comentários finais (úteis para a prova): a composição resulta sempre em números não negativos, como era de se esperar porque
. Exemplos rápidos para fixar:
- Para
: . - Para
: .