Calcule os seguintes limites:
r) \lim _{x \rightarrow 4^{-}} \frac{3-x}{x^{2}-2 x-8}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite lateral
\lim_{x\to4^-}\frac{3-x}{x^2-2x-8}.
Isto é um limite de função racional em que o denominador zera em x=4, então provavelmente teremos uma divergência infinita. Para resolver, vamos fatorar o denominador e fazer análise de sinais perto de x=4.

Passo 2

Fatoramos o denominador
x^2-2x-8 = (x-4)(x+2).
Logo a função fica
\frac{3-x}{x^2-2x-8} =\frac{3-x}{(x-4)(x+2)}.

Passo 3

Observe que não há cancelamento de fatores: o zero do denominador em x=4 gera uma assíntota vertical aí. Próximo de x=4 pela esquerda, o denominador tende a zero, fazendo a função crescer em módulo.

Passo 4

Analisando sinais para x\to4^-:
3-x<0 porque x está pouco abaixo de 4.
x-4<0 (pequeno negativo).
x+2>0 (aprox.\ 6).
Então
\frac{3-x}{(x-4)(x+2)} =\frac{\text{negativo}}{\text{negativo}\times\text{positivo}} =\frac{\text{negativo}}{\text{negativo}} >0,
e como o denominador vai a zero em módulo, a fração cresce sem limite.

Resposta

\lim_{x\to4^-}\frac{3-x}{x^2-2x-8}=+\infty.

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