Calcule os seguintes limites (do tipo 0/0 envolvendo fatorações):
\lim _{x \rightarrow 2} 2^{\left(x^{4}-16\right)\left(x^{3}-8\right)^{-1}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 2} 2^{\left(x^{4}-16\right)\left(x^{3}-8\right)^{-1}}.
Informações e observações iniciais (tirei estas informações do próprio enunciado):
  • A expressão pode ser reescrita como \displaystyle 2^{\frac{x^{4}-16}{\,x^{3}-8\,}}.
  • Avaliando diretamente o expoente em x=2 obtemos uma forma \frac{0}{0}, pois 2^{4}-16=0 e 2^{3}-8=0. Ou seja, o expoente é uma indeterminação do tipo 0/0.
  • O objetivo será calcular o limite do expoente por fatoração (uma técnica clássica para remover o fator x-2), e em seguida usar a continuidade da função exponencial para obter o limite pedido.

Passo 2

Fórmula e fatoração (aulas rápidas): para inteiros positivos n vale a fatoração \displaystyle x^{n}-a^{n}=(x-a)\bigl(x^{n-1}+x^{n-2}a+\cdots+xa^{n-2}+a^{n-1}\bigr). Vamos aplicar com a=2.
  • Para n=4:
x^{4}-16 = x^{4}-2^{4}=(x-2)\bigl(x^{3}+2x^{2}+4x+8\bigr).
  • Para n=3:
x^{3}-8 = x^{3}-2^{3}=(x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr).

Passo 3

Cancelar o fator comum (x-2): como ambos numerador e denominador têm o fator (x-2), para x\neq 2 podemos simplificar a fração do expoente:
\frac{x^{4}-16}{x^{3}-8} = \frac{(x-2)\bigl(x^{3}+2x^{2}+4x+8\bigr)}{(x-2)\bigl(x^{2}+2x+4\bigr)} = \frac{x^{3}+2x^{2}+4x+8}{x^{2}+2x+4},\qquad (x\neq 2).
Isso resolve a indeterminação; agora podemos calcular o limite do expoente substituindo x\to 2.

Passo 4

Avaliar o limite do expoente por substituição direta (já que a nova expressão é contínua em x=2):
Calcule o numerador em x=2:
2^{3}+2\cdot 2^{2}+4\cdot 2+8 = 8+8+8+8=32.
Calcule o denominador em x=2:
2^{2}+2\cdot 2+4 = 4+4+4=12.
Logo
\lim_{x\to 2}\frac{x^{4}-16}{x^{3}-8}=\frac{32}{12}=\frac{8}{3}.

Passo 5

Usar continuidade da função exponencial: a função y\mapsto 2^{y} é contínua em todos os reais, portanto
\lim_{x\to 2}2^{\frac{x^{4}-16}{x^{3}-8}} \;=\; 2^{\displaystyle \lim_{x\to 2}\frac{x^{4}-16}{x^{3}-8}}.
Pelo passo anterior o limite do expoente é \dfrac{8}{3}, assim o limite pedido é 2^{\frac{8}{3}}. (A conclusão numérica final fica na seção de resposta abaixo.)

Resposta

\,2^{\tfrac{8}{3}}\,

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