Calcule os seguintes limites (do tipo 0/0 envolvendo fatorações):
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações e observações iniciais (tirei estas informações do próprio enunciado):
- A expressão pode ser reescrita como
. - Avaliando diretamente o expoente em
obtemos uma forma , pois e . Ou seja, o expoente é uma indeterminação do tipo . - O objetivo será calcular o limite do expoente por fatoração (uma técnica clássica para remover o fator
), e em seguida usar a continuidade da função exponencial para obter o limite pedido.
Passo 2
Fórmula e fatoração (aulas rápidas): para inteiros positivos
vale a fatoração
. Vamos aplicar com
.
- Para
:
- Para
:
Passo 3
Cancelar o fator comum
: como ambos numerador e denominador têm o fator
, para
podemos simplificar a fração do expoente:
Isso resolve a indeterminação; agora podemos calcular o limite do expoente substituindo
.
Passo 4
Avaliar o limite do expoente por substituição direta (já que a nova expressão é contínua em
):
Calcule o numerador em :
Calcule o numerador em
Calcule o denominador em
:
Logo
Passo 5
Usar continuidade da função exponencial: a função
é contínua em todos os reais, portanto
Pelo passo anterior o limite do expoente é
, assim o limite pedido é
. (A conclusão numérica final fica na seção de resposta abaixo.)