Pede-se calcular a primitiva (antiderivada) da função x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{9+x^{2}}}, isto é, avaliar
\int \frac{dx}{\sqrt{9+x^{2}}}.
Informação útil dada: dentro da raiz aparece uma soma de quadrados 9+x^{2} com 9>0. Não há limites de integração, então o resultado será uma família de primitivias com constante de integração C.
Passo 2
Escolha do método e por que ele funciona (intuição didática):
Para integrais do tipo \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}} com a>0, uma técnica eficiente é a substituição trigonométrica x=a\tan\theta. A razão: \,1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta, então a expressão dentro da raiz se transforma em algo do tipo a\operatorname{sec}\theta, simplificando a raiz.
Aqui a=3. Então vamos usar a substituição
x = 3\tan\theta.
Isso transforma a raiz e o diferencial de forma conveniente. Agora fazemos as transformações explícitas.
Passo 3
Aplicando a substituição x=3\tan\theta e escrevendo dx e a raiz em função de \theta:
Como \ln\!\left|\frac{x+\sqrt{9+x^{2}}}{3}\right| = \ln\!\big|x+\sqrt{9+x^{2}}\big| - \ln 3 e -\ln 3 é apenas uma constante, podemos absorvê-la na constante de integração C. Logo a primitiva fica
\ln\!\big|x+\sqrt{9+x^{2}}\big| + C.
Passo 6
Observação alternativa (útil para decorar ou reconhecer formas):
Outra forma equivalente usa a função hiperbólica inversa:
pois \operatorname{arsinh} t = \ln\!\big(t+\sqrt{1+t^{2}}\big). No nosso caso isto dá a mesma primitiva, até constantes. É bom saber ambas as formas para reconhecer respostas em provas.