\int \frac{d x}{\sqrt{9+x^{2}}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se calcular a primitiva (antiderivada) da função x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{9+x^{2}}}, isto é, avaliar
\int \frac{dx}{\sqrt{9+x^{2}}}.
  • Informação útil dada: dentro da raiz aparece uma soma de quadrados 9+x^{2} com 9>0. Não há limites de integração, então o resultado será uma família de primitivias com constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método e por que ele funciona (intuição didática):
  • Para integrais do tipo \displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}} com a>0, uma técnica eficiente é a substituição trigonométrica x=a\tan\theta. A razão: \,1+\tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta, então a expressão dentro da raiz se transforma em algo do tipo a\operatorname{sec}\theta, simplificando a raiz.
  • Aqui a=3. Então vamos usar a substituição
x = 3\tan\theta.
Isso transforma a raiz e o diferencial de forma conveniente. Agora fazemos as transformações explícitas.

Passo 3

Aplicando a substituição x=3\tan\theta e escrevendo dx e a raiz em função de \theta:
  • Diferencial:
dx = 3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
  • A raiz:
\sqrt{9+x^{2}} = \sqrt{9+9\tan^{2}\theta} = \sqrt{9(1+\tan^{2}\theta)} = 3\operatorname{sec}\theta.
  • Substituindo na integral obtemos
\int \frac{dx}{\sqrt{9+x^{2}}} = \int \frac{3\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{3\operatorname{sec}\theta} = \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta usando um truque padrão (explicando passo a passo):
  • Escrever
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \int \frac{\operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta)}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta = \int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta+\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}\,d\theta.
  • Agora faça a substituição auxiliar
u=\operatorname{sec}\theta+\tan\theta.
  • Derivando u em relação a \theta:
du = (\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\operatorname{sec}^{2}\theta)\,d\theta.
  • Observa-se que o numerador coincide com du, então a integral vira
\int \frac{du}{u} = \ln\!\big|u\big| + C = \ln\!\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big| + C.
Portanto
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\!\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big| + C.

Passo 5

Voltar à variável x (substituição inversa) e simplificar a expressão:
  • Temos \tan\theta = \dfrac{x}{3} (peguei isto da substituição x=3\tan\theta).
  • Então
\operatorname{sec}\theta = \sqrt{1+\tan^{2}\theta} = \sqrt{1+\frac{x^{2}}{9}} = \frac{\sqrt{9+x^{2}}}{3}.
  • Substituindo em \ln\!\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big|:
\ln\!\big|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\big| = \ln\!\left|\frac{\sqrt{9+x^{2}}}{3} + \frac{x}{3}\right| = \ln\!\left|\frac{x+\sqrt{9+x^{2}}}{3}\right|.
  • Como \ln\!\left|\frac{x+\sqrt{9+x^{2}}}{3}\right| = \ln\!\big|x+\sqrt{9+x^{2}}\big| - \ln 3 e -\ln 3 é apenas uma constante, podemos absorvê-la na constante de integração C. Logo a primitiva fica
\ln\!\big|x+\sqrt{9+x^{2}}\big| + C.

Passo 6

Observação alternativa (útil para decorar ou reconhecer formas):
  • Outra forma equivalente usa a função hiperbólica inversa:
\operatorname{arsinh}\!\left(\frac{x}{3}\right) + C,
pois \operatorname{arsinh} t = \ln\!\big(t+\sqrt{1+t^{2}}\big). No nosso caso isto dá a mesma primitiva, até constantes. É bom saber ambas as formas para reconhecer respostas em provas.

Resposta

\ln\!\big|x+\sqrt{9+x^{2}}\big| + C

Exercícios relacionados