Calcule os seguintes limites trigonomêtricos
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas no enunciado:
Observação imediata: ao substituir
obtemos uma forma
, então precisamos manipular a expressão para remover essa indeterminação.
Passo 2
Usamos uma identidade trigonométrica que é muito útil para esse tipo de limite:
Explicando a identidade: lembramos a fórmula do cosseno de ângulo duplo
Basta tomar
. Então
, o que ao isolar
dá exatamente a identidade acima.
Passo 3
Aplicando a identidade na expressão do limite obtemos
Para facilitar, faça a substituição
. Então
e, substituindo,
Passo 4
Reescrevemos
de forma a usar o limite padrão
. Observe que
Aqui explico cada pedaço:
é uma quantidade que tende a
quando
; então
tende a
também. Resta o fator
multiplicando, que tende a
.
Passo 5
Afirmo (e é um resultado clássico) que
Breve justificativa (intuição e prova padrão): para
vale a desigualdade
. Dividindo por
e reordenando obtemos
Invertendo e tomando limite
(onde
) resulta
. Essa é a justificativa padrão via teorema do sanduíche (squeeze theorem). Para
negativo usa-se a paridade de
e do quociente; o resultado permanece.
Passo 6
Voltando ao nosso limite, já vimos que
Tomando o limite quando
,
Portanto o limite pedido é
.
Resposta
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