Calcule os seguintes limites trigonomêtricos
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos (x)}{5 x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos(x)}{5x}.
Informações dadas no enunciado:
\text{a expressão a estudar é } \frac{1-\cos(x)}{5x}\quad\text{quando }x\to 0.ãé
Observação imediata: ao substituir x=0 obtemos uma forma \frac{0}{0}, então precisamos manipular a expressão para remover essa indeterminação.

Passo 2

Usamos uma identidade trigonométrica que é muito útil para esse tipo de limite:
1-\cos(x)=2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right).
Explicando a identidade: lembramos a fórmula do cosseno de ângulo duplo
\cos(2u)=1-2\sin^2(u).
Basta tomar u=\dfrac{x}{2}. Então \cos(x)=\cos(2u)=1-2\sin^2(u), o que ao isolar 1-\cos(x) dá exatamente a identidade acima.

Passo 3

Aplicando a identidade na expressão do limite obtemos
\frac{1-\cos(x)}{5x}=\frac{2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right)}{5x}.
Para facilitar, faça a substituição t=\dfrac{x}{2}. Então x=2t e, substituindo,
\frac{2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right)}{5x}=\frac{2\sin^2(t)}{5(2t)}=\frac{\sin^2(t)}{5t}.

Passo 4

Reescrevemos \dfrac{\sin^2(t)}{5t} de forma a usar o limite padrão \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1. Observe que
\frac{\sin^2(t)}{5t}=\frac{1}{5}\cdot\frac{\sin^2(t)}{t} =\frac{1}{5}\cdot\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2\cdot t.
Aqui explico cada pedaço: \dfrac{\sin t}{t} é uma quantidade que tende a 1 quando t\to 0; então \left(\dfrac{\sin t}{t}\right)^2 tende a 1 também. Resta o fator t multiplicando, que tende a 0.

Passo 5

Afirmo (e é um resultado clássico) que
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Breve justificativa (intuição e prova padrão): para 0<u<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade \sin u<u<\tan u. Dividindo por \sin u e reordenando obtemos
1<\frac{u}{\sin u}<\frac{1}{\cos u}.
Invertendo e tomando limite u\to 0 (onde \cos u\to 1) resulta \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1. Essa é a justificativa padrão via teorema do sanduíche (squeeze theorem). Para u negativo usa-se a paridade de \sin e do quociente; o resultado permanece.

Passo 6

Voltando ao nosso limite, já vimos que
\frac{1-\cos x}{5x}=\frac{1}{5}\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 t\quad\text{com }t=\frac{x}{2}\text{ e }t\to 0\text{ quando }x\to 0.
Tomando o limite quando t\to 0,
\lim_{t\to 0}\frac{1}{5}\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 t =\frac{1}{5}\cdot\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}\right)^2\cdot\lim_{t\to 0}t =\frac{1}{5}\cdot 1^2\cdot 0=0.
Portanto o limite pedido é 0.

Resposta

0

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