Calcule os seguintes limites trigonomêtricos
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
e
ou seja, a expressão tem a forma indeterminada
quando
. Vamos então transformar a expressão de forma a usar um limite trigonométrico padrão.
Passo 2
Uma técnica simples é fazer a substituição
que vai a
quando
. Vou expressar numerador e denominador em termos de
. Primeiro calcule:
Passo 3
Agora escrevo o denominador em
. Temos
Substituindo na expressão do limite obtemos
Passo 4
Para usar o limite trigonométrico padrão, factorizei a expressão para isolar
. Escrevo:
Explicando o porquê disso ser útil: existe um limite bem conhecido e muito usado em provas e exames,
Uma justificativa clássica (sucinta) para esse resultado usa o teorema do aperto (squeeze): para
pequeno e positivo há desigualdades geométricas que implicam
; levando
obtém-se
. Esse é um limite básico que podemos usar.
Passo 5
Aplicando o limite conhecido com
temos
Também
. Portanto, passando ao limite na fatoração do Passo 4:
Passo 6
Comentário opcional (útil para a prova): outra maneira rápida é aplicar a regra de L’Hôpital, já que temos forma
. Derivando numerador e denominador em
obtemos
avaliando em
dá
, o mesmo resultado. Usei a técnica do Passo 2–5 porque costuma ser mais direta e evita decorar regras.