Calcule os seguintes limites trigonomêtricos
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\operatorname{sen}(4 x-4)}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{\operatorname{sen}(4x-4)}{x^{2}-1}.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
\operatorname{sen}(4\cdot 1-4)=\operatorname{sen}(0)=0
e
1^{2}-1=0,
ou seja, a expressão tem a forma indeterminada 0/0 quando x\to1. Vamos então transformar a expressão de forma a usar um limite trigonométrico padrão.

Passo 2

Uma técnica simples é fazer a substituição
h=x-1,
que vai a 0 quando x\to1. Vou expressar numerador e denominador em termos de h. Primeiro calcule:
4x-4=4(x-1)=4h.

Passo 3

Agora escrevo o denominador em h. Temos
x^{2}-1=(1+h)^{2}-1=1+2h+h^{2}-1=h(2+h).
Substituindo na expressão do limite obtemos
\lim_{x\to1}\frac{\operatorname{sen}(4x-4)}{x^{2}-1} = \lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}(4h)}{h(2+h)}.

Passo 4

Para usar o limite trigonométrico padrão, factorizei a expressão para isolar \displaystyle\frac{\operatorname{sen}(4h)}{4h}. Escrevo:
\frac{\operatorname{sen}(4h)}{h(2+h)} = \frac{\operatorname{sen}(4h)}{4h}\cdot\frac{4}{2+h}.
Explicando o porquê disso ser útil: existe um limite bem conhecido e muito usado em provas e exames,
\lim_{t\to0}\frac{\operatorname{sen}(t)}{t}=1.
Uma justificativa clássica (sucinta) para esse resultado usa o teorema do aperto (squeeze): para t pequeno e positivo há desigualdades geométricas que implicam \cos t\le \frac{\operatorname{sen}t}{t}\le 1; levando t\to0 obtém-se 1. Esse é um limite básico que podemos usar.

Passo 5

Aplicando o limite conhecido com t=4h temos
\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}(4h)}{4h}=1.
Também \lim_{h\to0}(2+h)=2. Portanto, passando ao limite na fatoração do Passo 4:
\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}(4h)}{h(2+h)} = \left(\lim_{h\to0}\frac{\operatorname{sen}(4h)}{4h}\right)\cdot\left(\lim_{h\to0}\frac{4}{2+h}\right) =1\cdot\frac{4}{2}=2.

Passo 6

Comentário opcional (útil para a prova): outra maneira rápida é aplicar a regra de L’Hôpital, já que temos forma 0/0. Derivando numerador e denominador em x obtemos
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(4x-4)=4\cos(4x-4),\qquad \frac{d}{dx}(x^{2}-1)=2x,
avaliando em x=1 \dfrac{4\cos 0}{2\cdot 1}=\dfrac{4\cdot 1}{2}=2, o mesmo resultado. Usei a técnica do Passo 2–5 porque costuma ser mais direta e evita decorar regras.

Resposta

2

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