Calcule os seguintes limites trigonomêtricos
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e o que é relevante:
- A função no numerador é
. - A função no denominador é
. - Queremos o comportamento da razão quando
se aproxima de .
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de forma didática):
- Continuidade: uma função contínua em um ponto tem a propriedade de que o limite quando a variável tende a esse ponto é o próprio valor da função nesse ponto. As funções
e são contínuas em todo número real, então podemos trocar limite por valor quando avaliamos em pontos. - Regra de limite de quociente: se
e com , então
Explicação simples: se o denominador tende a um número diferente de zero, não há divisão por zero no limite e podemos dividir os limites.
- Pequena nota alternativa (útil para entender): para ângulos pequenos
e . Formalmente e .
Passo 3
Aplicando continuidade aos termos:
- Como
é contínua, temos
Aqui usamos que ao substituir
dentro de
obtemos
.
Passo 4
Aplicando continuidade ao denominador:
- Como
é contínua, temos
Observação importante: o limite do denominador é
, que é diferente de zero, portanto podemos usar a regra do quociente sem problemas.
Passo 5
Concluir o limite usando a regra do quociente:
Alternativa rápida (intuição): para
pequeno
e
, então a razão comporta-se como
quando
, que vai para
.