Calcule os seguintes limites trigonomêtricos
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x)}{\cos (7 x)}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{\cos(7x)}.
Informações dadas e o que é relevante:
  • A função no numerador é \sin(3x).
  • A função no denominador é \cos(7x).
  • Queremos o comportamento da razão quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicados de forma didática):
  • Continuidade: uma função contínua em um ponto tem a propriedade de que o limite quando a variável tende a esse ponto é o próprio valor da função nesse ponto. As funções \sin e \cos são contínuas em todo número real, então podemos trocar limite por valor quando avaliamos em pontos.
  • Regra de limite de quociente: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}.
Explicação simples: se o denominador tende a um número diferente de zero, não há divisão por zero no limite e podemos dividir os limites.
  • Pequena nota alternativa (útil para entender): para ângulos pequenos \sin t\approx t e \cos t\approx 1. Formalmente \lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1 e \lim_{t\to 0}\cos t=1.

Passo 3

Aplicando continuidade aos termos:
  • Como \sin é contínua, temos
\lim_{x\to 0}\sin(3x)=\sin(0)=0.
Aqui usamos que ao substituir x=0 dentro de \sin(3x) obtemos \sin(0)=0.

Passo 4

Aplicando continuidade ao denominador:
  • Como \cos é contínua, temos
\lim_{x\to 0}\cos(7x)=\cos(0)=1.
Observação importante: o limite do denominador é 1, que é diferente de zero, portanto podemos usar a regra do quociente sem problemas.

Passo 5

Concluir o limite usando a regra do quociente:
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{\cos(7x)}=\frac{\lim_{x\to 0}\sin(3x)}{\lim_{x\to 0}\cos(7x)}=\frac{0}{1}=0.
Alternativa rápida (intuição): para x pequeno \sin(3x)\approx 3x e \cos(7x)\approx 1, então a razão comporta-se como 3x quando x\to0, que vai para 0.

Resposta

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