Calcule os seguintes limites trigonomêtricos
Passo 1
O problema pede para calcular o limite
Informações dadas: a expressão envolve a função seno avaliada em
e o denominador é
. Queremos o valor numérico para o limite quando
se aproxima de
.
Passo 2
Vamos lembrar um resultado fundamental que usaremos várias vezes: a identidade-limite
Explicando por quê (de forma básica e geométrica): para
vale a desigualdade
Dividindo por
(positivo nesse intervalo) obtemos
Invertendo os termos (isso inverte as desigualdades) fica
Como
, pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) segue que
Esse é o fundamento que permite tratar limites do tipo
.
Passo 3
Agora manipulemos a expressão para usar esse resultado. Observe que podemos escrever
Aqui fizemos uma multiplicação por
de forma conveniente: dividimos e multiplicamos por
para formar o quociente
, que é do tipo do limite conhecido.
Passo 4
Aplicamos as propriedades de limite. Quando
temos
, então pelo resultado do Passo 2
Como
é constante, a regra do produto de limites dá
Passo 5
Portanto o limite vale
Um jeitinho rápido para lembrar disso na prova: sempre que vir
, você pode reescrever como
e usar que
.