Calcule os seguintes limites trigonomêtricos
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(9 x)}{2 x}

Passo 1

O problema pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(9x)}{2x}.
Informações dadas: a expressão envolve a função seno avaliada em 9x e o denominador é 2x. Queremos o valor numérico para o limite quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Vamos lembrar um resultado fundamental que usaremos várias vezes: a identidade-limite
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Explicando por quê (de forma básica e geométrica): para 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade
\sin t < t < \tan t.
Dividindo por \sin t (positivo nesse intervalo) obtemos
1 < \frac{t}{\sin t} < \frac{1}{\cos t}.
Invertendo os termos (isso inverte as desigualdades) fica
\cos t < \frac{\sin t}{t} < 1.
Como \lim_{t\to 0}\cos t = 1, pelo Teorema do Aperto (squeeze theorem) segue que
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Esse é o fundamento que permite tratar limites do tipo \sin(kx)/(kx).

Passo 3

Agora manipulemos a expressão para usar esse resultado. Observe que podemos escrever
\frac{\sin(9x)}{2x}=\frac{9}{2}\cdot\frac{\sin(9x)}{9x}.
Aqui fizemos uma multiplicação por \tfrac{9}{9}=1 de forma conveniente: dividimos e multiplicamos por 9 para formar o quociente \dfrac{\sin(9x)}{9x}, que é do tipo do limite conhecido.

Passo 4

Aplicamos as propriedades de limite. Quando x\to 0 temos 9x\to 0, então pelo resultado do Passo 2
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(9x)}{9x}=1.
Como \tfrac{9}{2} é constante, a regra do produto de limites dá
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(9x)}{2x}=\frac{9}{2}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\sin(9x)}{9x}=\frac{9}{2}\cdot 1.

Passo 5

Portanto o limite vale
\frac{9}{2}.
Um jeitinho rápido para lembrar disso na prova: sempre que vir \sin(kx)/x, você pode reescrever como k\cdot(\sin(kx)/(kx)) e usar que \sin t/t\to 1.

Resposta

\dfrac{9}{2}

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