Determine o (maior) conjunto onde as seguintes funções são contínuas
f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x-3 \sqrt{x}+2}{(x-1)(x-4)} & \text { se } x \neq 1 \text { e } x \neq 4, \\\\ 1 & \text { se } x=1, \\\\ 0 & \text { se } x=4 .\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o (maior) conjunto onde a função abaixo é contínua.
f(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{x-3\sqrt{x}+2}{(x-1)(x-4)}, & \text{se } x\neq 1 \text{ e } x\neq 4,\\[6pt] 1, & \text{se } x=1,\\[2pt] 0, & \text{se } x=4. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão do ramo geral envolve \sqrt{x}, portanto essa expressão só faz sentido (como número real) para x\ge 0.
  • Nos pontos x=1 e x=4 a função é definida por valores específicos ( f(1)=1 e f(4)=0).
  • Para x\neq 1,4 o valor é dado pela fração com numerador x-3\sqrt{x}+2 e denominador (x-1)(x-4).
    As perguntas implícitas: para quais x a função está contínua? Em particular, devemos verificar pontos interiores do domínio e os pontos especiais x=1 e x=4.]

Passo 2

Determinar o domínio natural da função (onde ela está definida).
  • A parte com \sqrt{x} exige x\ge 0.
  • A definição por partes fornece valores em x=1 e x=4, e a fração está definida em x\neq 1,4.
    Logo o domínio total da função é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 0\} = [0,\infty).
Note que valores x<0 não pertencem ao domínio porque \sqrt{x} não é real aí.

Passo 3

Simplificar a expressão para x\neq 1,4. Isso ajuda a ver o comportamento próximo de 1 e 4.
  • Faça a substituição auxiliar \displaystyle t=\sqrt{x} (então \displaystyle x=t^{2} e t\ge 0).
  • Reescrevendo o numerador:
x-3\sqrt{x}+2 = t^{2}-3t+2 = (t-1)(t-2).
  • Reescrevendo o denominador:
(x-1)(x-4) = (t^{2}-1)(t^{2}-4) = (t-1)(t+1)(t-2)(t+2).
  • Para x\neq 1,4 (isto é, t\neq 1,2) podemos cancelar os fatores (t-1) e (t-2), obtendo
\frac{x-3\sqrt{x}+2}{(x-1)(x-4)} = \frac{(t-1)(t-2)}{(t-1)(t+1)(t-2)(t+2)} = \frac{1}{(t+1)(t+2)}.
Voltando a x, para x\neq 1,4 temos a forma simplificada
f(x)=\frac{1}{\bigl(\sqrt{x}+1\bigr)\bigl(\sqrt{x}+2\bigr)}.

Passo 4

Explicar por que a forma simplificada implica continuidade nos pontos interiores do domínio (exceto 1 e 4).
  • A função \sqrt{x} é contínua em [0,\infty).
  • As operações de soma e produto preservam continuidade; em particular x\mapsto \sqrt{x}+1 e x\mapsto \sqrt{x}+2 são contínuas.
  • O produto (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2) é contínuo e não é zero para x\ge 0 com x\neq 1,4 (porque largamente positivas: \sqrt{x}+1\ge 1 e \sqrt{x}+2\ge 2).
  • A função recíproca y\mapsto 1/y é contínua onde y\neq 0.
    Portanto a composição
x\mapsto \frac{1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2)}
é contínua em todo o intervalo [0,\infty) exceto possivelmente nos pontos onde cancelamos (isto é, x=1 e x=4). Concluímos que f é contínua em todos os pontos x\in[0,\infty) com x\neq 1,4.

Passo 5

Verificar a continuidade nos pontos especiais x=1 e x=4 (avaliar limites e comparar com os valores dados).
  • Cálculo do limite quando x\to 1 (usando a forma simplificada válida fora dos pontos problemáticos):
\lim_{x\to 1}\frac{1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2)}=\frac{1}{( \sqrt{1}+1)(\sqrt{1}+2)}=\frac{1}{(1+1)(1+2)}=\frac{1}{6}.
O valor definido pela peça é f(1)=1. Como \dfrac{1}{6}\neq 1, o limite à medida que x\to 1 existe e é \dfrac{1}{6}, mas diferente do valor f(1). Logo f é descontínua em x=1 (é uma descontinuidade removível se quiséssemos redefinir f(1), mas com a definição dada ela não é contínua).
  • Cálculo do limite quando x\to 4:
\lim_{x\to 4}\frac{1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2)}=\frac{1}{(\sqrt{4}+1)(\sqrt{4}+2)}=\frac{1}{(2+1)(2+2)}=\frac{1}{12}.
O valor definido é f(4)=0. Como \dfrac{1}{12}\neq 0, o limite existe mas é diferente do valor definido, então f é descontínua em x=4.
  • Verificação no extremo x=0 (apenas para garantir continuidade no início do domínio): pela forma simplificada
f(0)=\frac{1}{(\sqrt{0}+1)(\sqrt{0}+2)}=\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{2},
e o limite por x\to 0^{+} coincide com esse valor, então f é contínua em x=0.

Passo 6

Conclusão final sobre o maior conjunto de continuidade.
  • Já temos: f contínua em todo x\in[0,\infty) com x\neq 1,4.
  • f descontínua em x=1 e em x=4.
    Portanto o maior conjunto onde f é contínua é
[0,\infty)\setminus\{1,4\},
que também pode ser escrito como
[0,1)\cup(1,4)\cup(4,\infty).

Resposta

[0,\infty)\setminus\{1,4\} \
=[0,1)\cup(1,4)\cup(4,\infty)

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