Determine o (maior) conjunto onde as seguintes funções são contínuas f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x-3 \sqrt{x}+2}{(x-1)(x-4)} & \text { se } x \neq 1 \text { e } x \neq 4, \\\\ 1 & \text { se } x=1, \\\\ 0 & \text { se } x=4 .\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o (maior) conjunto onde a função abaixo é contínua.
A expressão do ramo geral envolve \sqrt{x}, portanto essa expressão só faz sentido (como número real) para x\ge 0.
Nos pontos x=1 e x=4 a função é definida por valores específicos (f(1)=1 e f(4)=0).
Para x\neq 1,4 o valor é dado pela fração com numerador x-3\sqrt{x}+2 e denominador (x-1)(x-4).
As perguntas implícitas: para quais x a função está contínua? Em particular, devemos verificar pontos interiores do domínio e os pontos especiais x=1 e x=4.]
Passo 2
Determinar o domínio natural da função (onde ela está definida).
A parte com \sqrt{x} exige x\ge 0.
A definição por partes fornece valores em x=1 e x=4, e a fração está definida em x\neq 1,4.
Logo o domínio total da função é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge 0\} = [0,\infty).
Note que valores x<0 não pertencem ao domínio porque \sqrt{x} não é real aí.
Passo 3
Simplificar a expressão para x\neq 1,4. Isso ajuda a ver o comportamento próximo de 1 e 4.
Faça a substituição auxiliar \displaystyle t=\sqrt{x} (então \displaystyle x=t^{2} e t\ge 0).
Explicar por que a forma simplificada implica continuidade nos pontos interiores do domínio (exceto 1 e 4).
A função \sqrt{x} é contínua em [0,\infty).
As operações de soma e produto preservam continuidade; em particular x\mapsto \sqrt{x}+1 e x\mapsto \sqrt{x}+2 são contínuas.
O produto (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2) é contínuo e não é zero para x\ge 0 com x\neq 1,4 (porque largamente positivas: \sqrt{x}+1\ge 1 e \sqrt{x}+2\ge 2).
A função recíproca y\mapsto 1/y é contínua onde y\neq 0.
Portanto a composição
x\mapsto \frac{1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+2)}
é contínua em todo o intervalo [0,\infty) exceto possivelmente nos pontos onde cancelamos (isto é, x=1 e x=4). Concluímos que f é contínua em todos os pontos x\in[0,\infty) com x\neq 1,4.
Passo 5
Verificar a continuidade nos pontos especiais x=1 e x=4 (avaliar limites e comparar com os valores dados).
Cálculo do limite quando x\to 1 (usando a forma simplificada válida fora dos pontos problemáticos):
O valor definido pela peça é f(1)=1. Como \dfrac{1}{6}\neq 1, o limite à medida que x\to 1 existe e é \dfrac{1}{6}, mas diferente do valor f(1). Logo f é descontínua em x=1 (é uma descontinuidade removível se quiséssemos redefinir f(1), mas com a definição dada ela não é contínua).