Determine o (maior) conjunto onde as seguintes funções são contínuas
g(x)=\frac{\sqrt{x^{4}-7 x+8}}{\log _{6}\left(25-x^{2}\right)}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o (maior) conjunto onde a função
g(x)=\frac{\sqrt{x^{4}-7 x+8}}{\log_{6}\left(25-x^{2}\right)}
é contínua. Informações e condições dadas pelo enunciado que vou usar (sem resolver nada ainda):
  • o numerador é \sqrt{x^{4}-7x+8}, que exige que o radicando satisfaça \;x^{4}-7x+8\ge 0\;;
  • o denominador é \log_{6}\!\left(25-x^{2}\right), que exige que o argumento satisfaça \;25-x^{2}>0\; (logaritmo só existe para argumento positivo) e que o valor do logaritmo não seja zero (pois não podemos dividir por zero), isto é \;\log_{6}\!\left(25-x^{2}\right)\neq 0\;;
  • a base do logaritmo é 6, que é válida ( 6>0 e 6\neq 1), logo a continuidade do logaritmo no seu domínio vale normalmente;
  • a continuidade de g ocorrerá nos pontos onde numerador e denominador estão bem definidos e o denominador é diferente de zero.

Passo 2

Transformo as condições da Passo 1 em desigualdades/equações explícitas que preciso resolver:
  1. \;x^{4}-7x+8\ge 0\; (para a raiz quadrada estar definida);
  2. \;25-x^{2}>0\; (para o logaritmo existir);
  3. \;\log_{6}\!\left(25-x^{2}\right)\neq 0\;, que é equivalente a \;25-x^{2}\neq 1\; (porque \log_{6} y=0 sse y=1).
A solução final será a interseção dos conjuntos que satisfazem (1), (2) e (3). Agora vou resolver cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 3

Resolvo a condição (2): \;25-x^{2}>0\;.
  • Isto é equivalente a \;x^{2}<25\;, portanto
-5<x<5.
Resolvo a condição (3): \;25-x^{2}\neq 1\;.
  • Isto é equivalente a \;x^{2}\neq 24\;, portanto
x\neq \pm\sqrt{24}=\pm 2\sqrt{6}.
Portanto, juntando (2) e (3) temos provisoriamente que x deve pertencer ao intervalo aberto (-5,5), exceto os pontos x=\pm 2\sqrt{6} (pois nesses pontos o logaritmo é 1 e, assim, o denominador seria zero).

Passo 4

Agora trato a condição (1): \;x^{4}-7x+8\ge 0\;. Vou estudar o polinômio
f(x)=x^{4}-7x+8.
Primeiro calculo derivadas para entender o comportamento:
f'(x)=4x^{3}-7,\qquad f''(x)=12x^{2}.
Como \;f''(x)=12x^{2}\ge 0 para todo x, a função f é convexa em \mathbb{R}. Logo f' é crescente e tem exatamente uma raiz real (um único ponto crítico), portanto f tem um único mínimo global em algum ponto real x_0 dado por f'(x_0)=0.
Resolvo f'(x)=0:
4x^{3}-7=0 \quad\Rightarrow\quad x^{3}=\frac{7}{4}\quad\Rightarrow\quad x_{0}=\sqrt[3]{\tfrac{7}{4}}.
Avalio f nesse ponto mínimo x_0. Usei a igualdade x_0^3=\tfrac{7}{4} para simplificar:
x_{0}^{4}=x_{0}\cdot x_{0}^{3}=x_{0}\cdot\frac{7}{4}=\frac{7}{4}x_{0}.
Portanto
f(x_{0})=x_{0}^{4}-7x_{0}+8=\frac{7}{4}x_{0}-7x_{0}+8=8-\frac{21}{4}x_{0}.
Agora obtenho um limite superior simples para x_{0} que me permita concluir que f(x_{0})>0. Como x_{0}^{3}=\tfrac{7}{4}=1{,}75 e \left(\tfrac{3}{2}\right)^{3}=\tfrac{27}{8}=3{,}375, temos x_{0}^{3}<\left(\tfrac{3}{2}\right)^{3}, logo x_{0}<\tfrac{3}{2}=1{,}5 (a função cúbica é estritamente crescente). Substituindo esse limite em f(x_{0}),
f(x_{0})=8-\frac{21}{4}x_{0}>8-\frac{21}{4}\cdot\frac{3}{2}=8-\frac{63}{8}=8-\;7{,}875=0{,}125>0.
Como f é convexa e x_{0} é o mínimo global, concluímos que
f(x)=x^{4}-7x+8>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Em particular, a desigualdade \;x^{4}-7x+8\ge 0\; é satisfeita por todo real — e na verdade é estritamente >\!0 sempre.

Passo 5

Combinando os resultados:
  • a condição (1) é satisfeita por todo x\in\mathbb{R};
  • a condição (2) e (3) juntas restringem x a pertencer a (-5,5) com exclusão dos pontos x=\pm 2\sqrt{6}.
Como numerador e denominador (quando definidos) são funções contínuas (a raiz quadrada é contínua quando o radicando é \ge0, o logaritmo é contínuo em seu domínio), a razão será contínua em todo ponto onde ambas as partes estão definidas e o denominador não é zero. Portanto o maior conjunto onde g é contínua é
(-5,5)\setminus\{\,-2\sqrt{6},\;2\sqrt{6}\,\}.
Podemos escrever esse conjunto como união de intervalos abertos:
(-5,-2\sqrt{6})\cup(-2\sqrt{6},2\sqrt{6})\cup(2\sqrt{6},5).

Resposta

(-5,-2\sqrt{6})\cup(-2\sqrt{6},2\sqrt{6})\cup(2\sqrt{6},5)

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