Determine o (maior) conjunto onde as seguintes funções são contínuas
Passo 1
O enunciado pede: determinar o (maior) conjunto onde a função
é contínua. Informações e condições dadas pelo enunciado que vou usar (sem resolver nada ainda):
- o numerador é
, que exige que o radicando satisfaça ; - o denominador é
, que exige que o argumento satisfaça (logaritmo só existe para argumento positivo) e que o valor do logaritmo não seja zero (pois não podemos dividir por zero), isto é ; - a base do logaritmo é
, que é válida ( e ), logo a continuidade do logaritmo no seu domínio vale normalmente; - a continuidade de
ocorrerá nos pontos onde numerador e denominador estão bem definidos e o denominador é diferente de zero.
Passo 2
Transformo as condições da Passo 1 em desigualdades/equações explícitas que preciso resolver:
-
(para a raiz quadrada estar definida); -
(para o logaritmo existir); -
, que é equivalente a (porque sse ).
A solução final será a interseção dos conjuntos que satisfazem (1), (2) e (3). Agora vou resolver cada uma dessas condições passo a passo.
Passo 3
Resolvo a condição (2):
.
- Isto é equivalente a
, portanto
Resolvo a condição (3):
.
- Isto é equivalente a
, portanto
Portanto, juntando (2) e (3) temos provisoriamente que
deve pertencer ao intervalo aberto
, exceto os pontos
(pois nesses pontos o logaritmo é
e, assim, o denominador seria zero).
Passo 4
Agora trato a condição (1):
. Vou estudar o polinômio
Primeiro calculo derivadas para entender o comportamento:
Como
para todo
, a função
é convexa em
. Logo
é crescente e tem exatamente uma raiz real (um único ponto crítico), portanto
tem um único mínimo global em algum ponto real
dado por
.
Resolvo
:
Avalio
nesse ponto mínimo
. Usei a igualdade
para simplificar:
Portanto
Agora obtenho um limite superior simples para
que me permita concluir que
. Como
e
, temos
, logo
(a função cúbica é estritamente crescente). Substituindo esse limite em
,
Como
é convexa e
é o mínimo global, concluímos que
Em particular, a desigualdade
é satisfeita por todo real — e na verdade é estritamente
sempre.
Passo 5
Combinando os resultados:
- a condição (1) é satisfeita por todo
; - a condição (2) e (3) juntas restringem
a pertencer a com exclusão dos pontos .
Como numerador e denominador (quando definidos) são funções contínuas (a raiz quadrada é contínua quando o radicando é
, o logaritmo é contínuo em seu domínio), a razão será contínua em todo ponto onde ambas as partes estão definidas e o denominador não é zero. Portanto o maior conjunto onde
é contínua é
Podemos escrever esse conjunto como união de intervalos abertos: