Calcule os seguintes limites usando L’Hopital quando possível
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
onde
é a função seno (vou escrever como
em TeX) e
é uma constante real qualquer.
Informações relevantes: quando temos
. A expressão é um produto de
por
.
Informações relevantes: quando
Passo 2
Para aplicar a regra de L’Hôpital é conveniente reescrever o produto como uma razão. Podemos escrever
Assim transformamos o problema em avaliar
Passo 3
Verificamos a indeterminação: quando
temos
, então
. Também
. Logo a forma é do tipo
, que é uma das hipóteses em que podemos tentar aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 4
Lembrete (fórmula e condição): a regra de L’Hôpital diz que se
e
(ou ambos
), e
são diferenciáveis em um intervalo (exceto possivelmente em
), e se existir
, então
Aqui
e a forma é
quando
, então podemos aplicar a regra desde que diferenciemos numerador e denominador (e a nova razão tenha limite).
Passo 5
Calculamos as derivadas necessárias, explicando passo a passo.
Defina
. Use a regra da cadeia: se
então
. Aqui
. Calculamos
Portanto
Agora
. Então
Passo 6
Aplicando L’Hôpital:
Simplificando os fatores
e
(eles se cancelam),
Passo 7
Agora tomamos o limite final:
Portanto o limite vale
.
Observação rápida e útil para a prova: uma forma alternativa e muito rápida (sem L’Hôpital) é usar a expansão
quando
, ou seja
para
grande, daí
. Mas a aplicação de L’Hôpital dá um procedimento rigoroso.