Calcule os seguintes limites usando L’Hopital quando possível
\lim _{x \rightarrow \infty} x \operatorname{sen} \frac{a}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to\infty} x\,\operatorname{sen}\frac{a}{x},
onde \operatorname{sen} é a função seno (vou escrever como \sin em TeX) e a é uma constante real qualquer.
Informações relevantes: quando x\to\infty temos \frac{a}{x}\to 0. A expressão é um produto de x por \sin\big(\frac{a}{x}\big).

Passo 2

Para aplicar a regra de L’Hôpital é conveniente reescrever o produto como uma razão. Podemos escrever
x\sin\frac{a}{x}=\frac{\sin\frac{a}{x}}{1/x}.
Assim transformamos o problema em avaliar
\lim_{x\to\infty}\frac{\sin\frac{a}{x}}{1/x}.

Passo 3

Verificamos a indeterminação: quando x\to\infty temos \frac{a}{x}\to 0, então \sin\frac{a}{x}\to\sin 0=0. Também 1/x\to 0. Logo a forma é do tipo \frac{0}{0}, que é uma das hipóteses em que podemos tentar aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

Lembrete (fórmula e condição): a regra de L’Hôpital diz que se \lim_{x\to c} f(x)=0 e \lim_{x\to c} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty), e f,g são diferenciáveis em um intervalo (exceto possivelmente em c), e se existir \lim_{x\to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}, então
\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui c=\infty e a forma é \frac{0}{0} quando x\to\infty, então podemos aplicar a regra desde que diferenciemos numerador e denominador (e a nova razão tenha limite).

Passo 5

Calculamos as derivadas necessárias, explicando passo a passo.
Defina f(x)=\sin\frac{a}{x}. Use a regra da cadeia: se f(x)=\sin(u(x)) então f'(x)=\cos(u(x))\cdot u'(x). Aqui u(x)=\frac{a}{x}. Calculamos
u'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{a}{x}\right)=\frac{d}{dx}\big(a x^{-1}\big)=a\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{a}{x^{2}}.
Portanto
f'(x)=\cos\frac{a}{x}\cdot\left(-\frac{a}{x^{2}}\right)=-\frac{a\cos\frac{a}{x}}{x^{2}}.
Agora g(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}. Então
g'(x)=-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 6

Aplicando L’Hôpital:
\lim_{x\to\infty}\frac{\sin\frac{a}{x}}{1/x} =\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{-\dfrac{a\cos\frac{a}{x}}{x^{2}}}{-\dfrac{1}{x^{2}}}.
Simplificando os fatores -1 e x^{-2} (eles se cancelam),
\frac{-\dfrac{a\cos\frac{a}{x}}{x^{2}}}{-\dfrac{1}{x^{2}}}=a\cos\frac{a}{x}.

Passo 7

Agora tomamos o limite final:
\lim_{x\to\infty}a\cos\frac{a}{x}=a\cdot\cos\big(\lim_{x\to\infty}\frac{a}{x}\big)=a\cdot\cos 0=a\cdot 1=a.
Portanto o limite vale a.
Observação rápida e útil para a prova: uma forma alternativa e muito rápida (sem L’Hôpital) é usar a expansão \sin t\sim t quando t\to 0, ou seja \sin\frac{a}{x}\approx\frac{a}{x} para x grande, daí x\sin\frac{a}{x}\approx x\cdot\frac{a}{x}=a. Mas a aplicação de L’Hôpital dá um procedimento rigoroso.

Resposta

\;a\;

Exercícios relacionados