Thrule as raízes dos números complexos dados nos Exercs. 1 a 8 e faça a representação gralica correspondente.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todas as raízes cúbicas do número complexo
e fazer a representação gráfica delas.
Informações dadas: o número complexo cuja raiz procuramos é . Não há mais informações adicionais.
Informações dadas: o número complexo cuja raiz procuramos é
Passo 2
Primeiro vamos transformar
para a forma polar (módulo e argumento). Qual é o módulo de
? O módulo é a distância ao origem no plano complexo. Para
temos
Agora o argumento (ângulo) de
: o ponto
está sobre o eixo imaginário negativo, portanto um argumento conveniente é
Observação: também poderíamos usar
; ambas representam a mesma direção no plano. Vou usar
porque fica direto ao dividir por
depois.
Passo 3
A ideia geral (fórmula das raízes
-ésimas): se um complexo tem forma polar
então as
raízes
-ésimas são
Explicando essa fórmula de forma simples: qualquer argumento pode ser acrescido de
sem mudar o número complexo; ao tirar a raiz
-ésima dividimos o argumento por
e devemos considerar os
possíveis deslocamentos por
para obter todas as raízes distintas.
Passo 4
Aplicando ao caso
com
: temos
e
. Assim as raízes cúbicas são
Agora vamos calcular cada uma explicitamente.
Passo 5
Para
:
Lembrando os valores trigonométricos:
e
. Como o seno é ímpar e o cosseno é par,
Logo
Passo 6
Para
:
Portanto
Passo 7
Para
:
Usando valores trigonométricos:
logo
Passo 8
Verificação rápida (checar uma raiz):
tem
, então funciona. As demais também funcionam por construção da fórmula.
Passo 9
Representação gráfica: todas as três raízes têm módulo
(estão sobre o círculo unitário) e ângulos
No plano complexo isso dá três pontos igualmente espaçados por
(ou
) em torno da origem, formando um triângulo equilátero inscrito no círculo unitário. As coordenadas (parte real, parte imaginária) são:
Para desenhar: trace o círculo de raio
centrado na origem e marque os três pontos nessas coordenadas; ligando-os você verá o triângulo equilátero.