Thrule as raízes dos números complexos dados nos Exercs. 1 a 8 e faça a representação gralica correspondente.
\sqrt[3]{-i}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todas as raízes cúbicas do número complexo -i e fazer a representação gráfica delas.
Informações dadas: o número complexo cuja raiz procuramos é -i. Não há mais informações adicionais.

Passo 2

Primeiro vamos transformar -i para a forma polar (módulo e argumento). Qual é o módulo de -i? O módulo é a distância ao origem no plano complexo. Para -i temos
| -i | = 1.
Agora o argumento (ângulo) de -i: o ponto -i está sobre o eixo imaginário negativo, portanto um argumento conveniente é
\theta = -\frac{\pi}{2}.
Observação: também poderíamos usar \theta = \frac{3\pi}{2}; ambas representam a mesma direção no plano. Vou usar \theta = -\frac{\pi}{2} porque fica direto ao dividir por 3 depois.

Passo 3

A ideia geral (fórmula das raízes n-ésimas): se um complexo tem forma polar
re^{i\theta},
então as n raízes n-ésimas são
z_k = r^{1/n} e^{i\frac{\theta+2\pi k}{n}},\qquad k=0,1,\dots,n-1.
Explicando essa fórmula de forma simples: qualquer argumento pode ser acrescido de 2\pi sem mudar o número complexo; ao tirar a raiz n-ésima dividimos o argumento por n e devemos considerar os n possíveis deslocamentos por 2\pi k para obter todas as raízes distintas.

Passo 4

Aplicando ao caso -i com n=3: temos r=1 e \theta = -\frac{\pi}{2}. Assim as raízes cúbicas são
z_k = 1^{1/3} e^{i\frac{-\frac{\pi}{2}+2\pi k}{3}} = e^{i\left(-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}\right)},\qquad k=0,1,2.
Agora vamos calcular cada uma explicitamente.

Passo 5

Para k=0:
z_0 = e^{i\left(-\frac{\pi}{6}\right)} = \cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\!\left(-\frac{\pi}{6}\right).
Lembrando os valores trigonométricos: \cos\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} e \sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}. Como o seno é ímpar e o cosseno é par,
\cos\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}.
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z_0 = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}.

Passo 6

Para k=1:
z_1 = e^{i\left(-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}\right)} = e^{i\left(-\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{6}\right)} = e^{i\frac{3\pi}{6}} = e^{i\frac{\pi}{2}}.
Portanto
z_1 = \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 + i\cdot 1 = i.

Passo 7

Para k=2:
z_2 = e^{i\left(-\frac{\pi}{6} + \frac{4\pi}{3}\right)} = e^{i\left(-\frac{\pi}{6} + \frac{8\pi}{6}\right)} = e^{i\frac{7\pi}{6}}.
Usando valores trigonométricos:
\cos\!\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\!\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2},
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z_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}.

Passo 8

Verificação rápida (checar uma raiz): z_1=i tem z_1^3 = i^3 = i\cdot i^2 = i\cdot(-1) = -i, então funciona. As demais também funcionam por construção da fórmula.

Passo 9

Representação gráfica: todas as três raízes têm módulo 1 (estão sobre o círculo unitário) e ângulos
\arg(z_0) = -\frac{\pi}{6}\;(\text{ou }330^\circ),\qquad \arg(z_1)=\frac{\pi}{2}\;(\text{ou }90^\circ),\qquad \arg(z_2)=\frac{7\pi}{6}\;(\text{ou }210^\circ).
No plano complexo isso dá três pontos igualmente espaçados por 120^\circ (ou \frac{2\pi}{3}) em torno da origem, formando um triângulo equilátero inscrito no círculo unitário. As coordenadas (parte real, parte imaginária) são:
z_0=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\,-\frac{1}{2}\right),\quad z_1=(0,\,1),\quad z_2=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2},\,-\frac{1}{2}\right).
Para desenhar: trace o círculo de raio 1 centrado na origem e marque os três pontos nessas coordenadas; ligando-os você verá o triângulo equilátero.

Resposta

\displaystyle z_0=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}
\displaystyle z_1=i
\displaystyle z_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}

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