Uma quantidade de 300 t de tomates selecionados após a colheita foi disposta em caixas para serem resfriados em uma câmara fria. No início do processo, quando os tomates foram inseridos na câmara, a temperatura média dos frutos era de 30^{\circ} \mathrm{C}, e eles devem ser resfriados até 4^{\circ} \mathrm{C} em um período não superior a 4 h . Calcular: (a) o calor gerado pela respiração no período de resfriamento, considerando a mudança de temperatura linear; (b) o calor gerado pela respiração a temperatura constante de 4^{\circ} \mathrm{C}; (c) a carga térmica total causada pelo calor de respiração dos frutos, se os tomates permanecerem durante 12 h na câmara.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três quantidades:
  • Massa de tomates: 300\\ \mathrm{t}.
  • Temperatura inicial: 30^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final desejada: 4^\circ\mathrm{C}.
  • Tempo máximo de resfriamento: 4\\ \mathrm{h}.
  • Perguntas:
    (a) Calcular o calor gerado pela respiração no período de resfriamento, considerando que a temperatura dos frutos decresce de forma linear de 30^\circ\mathrm{C} até 4^\circ\mathrm{C} ao longo de 4\\ \mathrm{h}.
    (b) Calcular o calor gerado pela respiração se os frutos já estiverem à temperatura constante de 4^\circ\mathrm{C} durante o mesmo período de 4\\ \mathrm{h}.
    (c) Calcular a carga térmica total causada pela respiração se os tomates permanecerem 12\\ \mathrm{h} na câmara à temperatura de 4^\circ\mathrm{C}.
Conversões iniciais que usarei:
300\\ \mathrm{t}=300\times 1000\\ \mathrm{kg}=300\,000\\ \mathrm{kg}.

Passo 2

Entendendo o que é “calor da respiração” e como quantificá‑lo (aula curta e prática).
  • A respiração metabólica dos frutos consome oxigênio e libera dióxido de carbono e energia. Uma forma prática de estimar a energia liberada é relacioná‑la ao volume de \mathrm{CO_2} produzido, porque a oxidação de carboidratos libera uma quantidade conhecida de energia por mol de \mathrm{CO_2}.
  • Energia liberada por mol de \mathrm{CO_2} (aprox., considerando oxidação de glicídeo): cerca de 467\\ \mathrm{kJ/mol}.
  • Volume molar (STP) aproximado: 22{,}4\\ \mathrm{L/mol}.
  • Logo, energia por litro de \mathrm{CO_2}:
\frac{467\\ \mathrm{kJ/mol}}{22{,}4\\ \mathrm{L/mol}}\approx 20{,}85\\ \mathrm{kJ/L}.
  • Como há 1000\\ \mathrm{mL}=1\\ \mathrm{L}, essa energia por \mathrm{mL} de \mathrm{CO_2} é
20{,}85\\ \mathrm{kJ/L}=0{,}02085\\ \mathrm{kJ/mL}.

Passo 3

Escolha de um valor prático para taxa de respiração dos tomates (assunção explícita).
  • Em problemas de refrigeração agrícola costuma‑se usar valores típicos de produção de \mathrm{CO_2} por fruto/por massa a uma temperatura de referência. Vou adotar um valor típico para tomates a 20^\circ\mathrm{C}:
25\\ \mathrm{mL\\ CO_2/(kg\cdot h)}\quad(\text{valor típico utilizado aqui como hipótese}).íó
  • Multiplicando esse valor pela energia por \mathrm{mL\\ CO_2} obtemos a potência respiratória específica a 20^\circ\mathrm{C} (energia por kg por hora):
r_{20} = 25\\ \mathrm{mL/(kg\cdot h)}\times 0{,}02085\\ \mathrm{kJ/mL}=0{,}52125\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot h)}.
  • Converte‑se para kcal se quiser: 1\\ \mathrm{kcal}=4{,}184\\ \mathrm{kJ}, então
r_{20}\approx\frac{0{,}52125}{4{,}184}\approx 0{,}1246\\ \mathrm{kcal/(kg\cdot h)}.

Passo 4

Dependência da taxa de respiração com a temperatura — hipótese simples e justificativa.
  • O enunciado pede que, em (a), consideremos que a temperatura muda linearmente. Para manter o cálculo simples (e compatível com exercícios de prova básicos), vou usar a hipótese prática de que a taxa de respiração (em kJ/(kg·h)) é aproximadamente proporcional à temperatura em graus Celsius na faixa considerada. Ou seja:
r(T)=k\cdot T,
onde k é uma constante que determinamos usando o valor em 20^\circ\mathrm{C}.
  • Determinando k a partir de r_{20}:
k=\frac{r_{20}}{20}=\frac{0{,}52125}{20}=0{,}0260625\\ \mathrm{\frac{kJ}{kg\cdot h\cdot ^\circ C}}.
  • Verificação rápida: r(20)=k\cdot 20=0{,}52125\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot h)}, consistente com a definição.

Passo 5

Cálculo de (a): calor gerado durante resfriamento linear de 30^\circ\mathrm{C} para 4^\circ\mathrm{C} em 4\\ \mathrm{h}.
  • Como a temperatura varia linearmente, podemos escrever a temperatura instantânea como função do tempo t (em horas), para 0\le t\le 4:
T(t)=30 - \frac{30-4}{4}\,t = 30 - 6{,}5\,t.
  • A taxa de respiração por massa no instante t é r(T(t))=k\,T(t). O calor gerado por kg no intervalo 0\to 4\\ \mathrm{h} é a integral:
q_{\text{por kg}}=\int_{0}^{4} r(T(t))\,dt = k\int_{0}^{4} T(t)\,dt.
  • Integrando T(t): como a variação é linear, a média da temperatura no período é
T_{\text{média}}=\frac{30+4}{2}=17^\circ\mathrm{C},é
e
\int_{0}^{4} T(t)\,dt = 4\cdot T_{\text{média}}=4\cdot 17=68\\ (\,^\circ\mathrm{C}\cdot\mathrm{h}\,).é
  • Logo, calor por kg no período:
q_{\text{por kg}}=k\cdot 68 = 0{,}0260625\cdot 68 = 1{,}77225\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Para a massa total m=300\,000\\ \mathrm{kg}:
Q_{a}=m\cdot q_{\text{por kg}}=300\,000\cdot 1{,}77225 = 531\,675\\ \mathrm{kJ}.
  • Convertemos para outras unidades úteis:
531\,675\\ \mathrm{kJ}=531{,}675\\ \mathrm{MJ}\approx\frac{531\,675}{3{,}6{,}0 0}=147{,}69\\ \mathrm{kWh}.
(uso 1\\ \mathrm{kWh}=3{,}6\cdot 10^{3}\\ \mathrm{kJ}.)

Passo 6

Cálculo de (b): calor gerado se a temperatura for constante 4^\circ\mathrm{C} durante o período de 4\\ \mathrm{h}.
  • Taxa por kg a 4^\circ\mathrm{C}:
r(4)=k\cdot 4 = 0{,}0260625\cdot 4 = 0{,}10425\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot h)}.
  • Calor por kg em 4\\ \mathrm{h}:
q_{\text{por kg}}=r(4)\cdot 4 = 0{,}10425\cdot 4 = 0{,}417\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Para a massa total:
Q_{b}=300\,000\cdot 0{,}417 = 125\,100\\ \mathrm{kJ}.
  • Em outras unidades:
125\,100\\ \mathrm{kJ}=125{,}1\\ \mathrm{MJ}\approx 34{,}75\\ \mathrm{kWh}.

Passo 7

Cálculo de (c): carga térmica total por respiração se os tomates permanecerem 12\\ \mathrm{h} à 4^\circ\mathrm{C}.
  • Usamos a mesma taxa por kg r(4)=0{,}10425\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot h)}.
  • Calor por kg em 12\\ \mathrm{h}:
q_{\text{por kg}}=r(4)\cdot 12 = 0{,}10425\cdot 12 = 1{,}251\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Para a massa total:
Q_{c}=300\,000\cdot 1{,}251 = 375\,300\\ \mathrm{kJ}.
  • Em outras unidades:
375\,300\\ \mathrm{kJ}=375{,}3\\ \mathrm{MJ}\approx 104{,}25\\ \mathrm{kWh}.

Passo 8

Pequena conclusão e incentivo (rápida).
  • Resumindo: seguindo a hipótese prática adotada (produção de \mathrm{CO_2} de 25\\ \mathrm{mL/(kg\cdot h)} a 20^\circ\mathrm{C} e proporcionalidade linear da taxa com a temperatura) obtivemos os valores acima. Se você tiver um valor diferente para a taxa de \mathrm{CO_2} (ou uma dependência mais precisa com a temperatura, por ex. um fator Q_{10}), podemos recalcular rápido — mas para uma prova essa abordagem simples e bem documentada funciona muito bem. Força aí, você já está indo bem!

Resposta

(a) 531\,675\\ \mathrm{kJ} \approx 147{,}69\\ \mathrm{kWh}
(b) 125\,100\\ \mathrm{kJ} \approx 34{,}75\\ \mathrm{kWh}
(c) 375\,300\\ \mathrm{kJ} \approx 104{,}25\\ \mathrm{kWh}

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