Calcule os seguintes limites, usando L’Hospital:
\quad \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \operatorname{sen}(2 x)}{1-\cos 3 x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0}\frac{x\,\operatorname{sen}(2x)}{1-\cos 3x}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A expressão é a razão entre o numerador \;x\,\operatorname{sen}(2x)\; e o denominador \;1-\cos 3x\;.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
  • A tarefa é calcular esse limite usando a regra de L’Hospital (conforme solicitado).

Passo 2

Verificação do tipo de indeterminação para saber se podemos aplicar L’Hospital:
  • Quando x\to 0, temos \operatorname{sen}(2x)\to 0, então o numerador x\,\operatorname{sen}(2x)\to 0.
  • Quando x\to 0, temos \cos(3x)\to 1, então o denominador 1-\cos 3x\to 0.
    Logo a forma é \frac{0}{0}, uma indeterminação que permite (sob condições de diferenciabilidade, satisfeitas aqui) aplicar a regra de L’Hospital.
Breve lembrete da regra de L’Hospital (didático):
  • Se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty) e f,g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq 0 próximo de a (exceto talvez em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite do lado direito exista ou seja \pm\infty.
Vou usar isso passo a passo.

Passo 3

Aplicando L’Hospital pela primeira vez: preciso de f'(x) para f(x)=x\sin(2x) e g'(x) para g(x)=1-\cos(3x).
Regras que vou usar (explicando cada uma):
  • Regra do produto: se u(x)=x e v(x)=\sin(2x), então (uv)'=u'v+uv'. Aqui u'(x)=1.
  • Regra da cadeia: se h(x)=\sin(2x), então h'(x)=\cos(2x)\cdot(2) porque derivamos o seno e multiplicamos pela derivada do interior 2x.
  • Derivada de \cos(3x): (\cos(3x))'=-\sin(3x)\cdot 3 (regra da cadeia).
Cálculo explícito:
  • Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\bigl(x\sin(2x)\bigr)=\sin(2x)+x\cdot\bigl(\cos(2x)\cdot 2\bigr)=\sin(2x)+2x\cos(2x).
  • Derivada do denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(1-\cos(3x)\bigr)=0-\bigl(-\sin(3x)\cdot 3\bigr)=3\sin(3x).

Passo 4

Pela regra de L’Hospital, o limite original é igual (se o novo limite existir) a
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(2x)+2x\cos(2x)}{3\sin(3x)}.

Passo 5

Verificação de indeterminação do novo quociente:
  • Quando x\to 0, \sin(2x)\to 0 e 2x\cos(2x)\to 0, então o numerador tende a 0.
  • Quando x\to 0, \sin(3x)\to 0, então o denominador tende a 0.
    Ainda temos a forma \frac{0}{0}, então podemos aplicar L’Hospital novamente.

Passo 6

Aplicando L’Hospital pela segunda vez: calculo as derivadas do numerador e do denominador da expressão do Passo 4.
Derivada do numerador h(x)=\sin(2x)+2x\cos(2x):
  • Derivada de \sin(2x) é \cos(2x)\cdot 2.
  • Para 2x\cos(2x) uso produto: u(x)=2x e v(x)=\cos(2x).
    • u'(x)=2.
    • v'(x)=-\sin(2x)\cdot 2 (regra da cadeia).
    • Então \frac{d}{dx}\bigl(2x\cos(2x)\bigr)=2\cos(2x)+2x\cdot\bigl(-2\sin(2x)\bigr)=2\cos(2x)-4x\sin(2x).
      Somando as partes:
h'(x)=2\cos(2x)+\bigl(2\cos(2x)-4x\sin(2x)\bigr)=4\cos(2x)-4x\sin(2x).
Derivada do denominador k(x)=3\sin(3x):
  • k'(x)=3\cdot\cos(3x)\cdot 3=9\cos(3x).

Passo 7

Pela segunda aplicação de L’Hospital, o limite passa a ser
\lim_{x\to 0}\frac{4\cos(2x)-4x\sin(2x)}{9\cos(3x)}.
Agora avaliamos o limite direto, já que não há mais indeterminação:
  • Quando x\to 0, \cos(2x)\to 1 e -4x\sin(2x)\to 0, então o numerador tende a 4.
  • Quando x\to 0, \cos(3x)\to 1, então o denominador tende a 9.
Portanto o numerador tende a 4 e o denominador tende a 9.

Passo 8

(Faça uma checagem alternativa rápida: séries de Taylor de baixa ordem)
  • \sin(2x)\approx 2x para x pequeno, então o numerador original x\sin(2x)\approx x\cdot 2x=2x^2.
  • \cos(3x)\approx 1-\dfrac{(3x)^2}{2}=1-\dfrac{9x^2}{2}, então o denominador 1-\cos(3x)\approx \dfrac{9x^2}{2}.
  • A razão aproximada é \dfrac{2x^2}{\tfrac{9x^2}{2}}=\dfrac{2}{9/2}=\dfrac{4}{9}, que confirma o resultado obtido acima.

Resposta

\dfrac{4}{9}

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