Calcule os seguintes limites, usando L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas e o que é pedido:
- A expressão é a razão entre o numerador
e o denominador . - O ponto de interesse é
. - A tarefa é calcular esse limite usando a regra de L’Hospital (conforme solicitado).
Passo 2
Verificação do tipo de indeterminação para saber se podemos aplicar L’Hospital:
- Quando
, temos , então o numerador . - Quando
, temos , então o denominador .
Logo a forma é, uma indeterminação que permite (sob condições de diferenciabilidade, satisfeitas aqui) aplicar a regra de L’Hospital.
Breve lembrete da regra de L’Hospital (didático):
- Se
e (ou ambos ) e são diferenciáveis perto de com próximo de (exceto talvez em ), então
desde que o limite do lado direito exista ou seja
.
Vou usar isso passo a passo.
Vou usar isso passo a passo.
Passo 3
Aplicando L’Hospital pela primeira vez: preciso de
para
e
para
.
Regras que vou usar (explicando cada uma):
- Regra do produto: se
e , então . Aqui . - Regra da cadeia: se
, então porque derivamos o seno e multiplicamos pela derivada do interior . - Derivada de
: (regra da cadeia).
Cálculo explícito:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Passo 4
Pela regra de L’Hospital, o limite original é igual (se o novo limite existir) a
Passo 5
Verificação de indeterminação do novo quociente:
- Quando
, e , então o numerador tende a . - Quando
, , então o denominador tende a .
Ainda temos a forma, então podemos aplicar L’Hospital novamente.
Passo 6
Aplicando L’Hospital pela segunda vez: calculo as derivadas do numerador e do denominador da expressão do Passo 4.
Derivada do numerador
:
- Derivada de
é . - Para
uso produto: e . -
. -
(regra da cadeia). - Então
.
Somando as partes:
-
Derivada do denominador
:
-
.
Passo 7
Pela segunda aplicação de L’Hospital, o limite passa a ser
Agora avaliamos o limite direto, já que não há mais indeterminação:
- Quando
, e , então o numerador tende a . - Quando
, , então o denominador tende a .
Portanto o numerador tende a
e o denominador tende a
.
Passo 8
(Faça uma checagem alternativa rápida: séries de Taylor de baixa ordem)
-
para pequeno, então o numerador original . -
, então o denominador . - A razão aproximada é
, que confirma o resultado obtido acima.