Calcule os seguintes limites, usando L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2 x}

Passo 1

Enunciado: calcular o limite
\lim_{x \to +\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2x}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  1. A expressão é uma potência em que a base é \left(1-\dfrac{1}{x}\right) e o expoente é 2x.
  2. A variável tende para +\infty.
  3. O enunciado pede explicitamente que usemos L’Hospital (portanto vamos aplicar aquele truque clássico com logaritmo e depois L’Hospital).

Passo 2

Motivação e transformação inicial (por que tomar logaritmo?): quando temos limites do tipo \left(\text{coisa}\right)^{\text{coisa}} é muito útil trabalhar com o logaritmo natural porque ele transforma potência em produto, o que costuma facilitar o uso do teorema de L’Hospital. Definimos a função cujo limite queremos:
y(x)=\left(1-\frac{1}{x}\right)^{2x}.
Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados (isso é válido porque a base aqui é positiva para x>1, então \ln está bem definido):
\ln y(x)=2x\cdot \ln\!\left(1-\frac{1}{x}\right).
O plano: calcular \lim_{x\to+\infty}\ln y(x) usando L’Hospital e depois recuperar \lim y(x) por exponenciação.

Passo 3

Analisando a forma indeterminada de \ln y(x)=2x\ln\left(1-\dfrac{1}{x}\right): quando x\to+\infty temos \ln\!\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\to\ln(1)=0 e 2x\to+\infty, logo o produto é da forma 0\cdot\infty, que é indeterminado. Para aplicar L’Hospital precisamos de uma razão 0/0 ou \infty/\infty. Vamos reescrever o produto como uma razão dividindo e multiplicando de forma conveniente. Uma forma comum é:
\ln y(x)=2x\ln\!\left(1-\frac{1}{x}\right)=2\cdot \frac{\ln\!\left(1-\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}.
Agora a razão \dfrac{\ln(1-1/x)}{1/x} tem a forma 0/0 quando x\to+\infty, porque numerador vai para 0 e denominador 1/x também vai para 0. Então podemos aplicar L’Hospital nessa razão.

Passo 4

Lema de L’Hospital (explicação didática rápida): se temos \lim_{t\to a} \dfrac{f(t)}{g(t)} com forma indeterminada 0/0 ou \infty/\infty, e se f e g são diferenciáveis perto de a com g'(t)\neq0 (salvo no próprio a), então
\lim_{t\to a}\frac{f(t)}{g(t)}=\lim_{t\to a}\frac{f'(t)}{g'(t)}
se o limite à direita existir (ou for \pm\infty). Aqui vamos aplicar isso com a variável x, ou para simplificar faremos uma mudança de variável t=\dfrac{1}{x} (isso deixa o limite em forma mais direta).

Passo 5

Fazendo a mudança de variável t=\dfrac{1}{x}. Quando x\to+\infty temos t\to 0^+. Reescrevemos a razão:
\frac{\ln\!\left(1-\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}=\frac{\ln(1-t)}{t},\quad \text{com } t=\frac{1}{x}\text{ e }t\to 0^{+}.
Agora avaliaremos
\lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(1-t)}{t}.
Verifique a indeterminação: quando t\to0, \ln(1-t)\to 0 e t\to0, logo é um caso 0/0, podemos aplicar L’Hospital.

Passo 6

Aplicando L’Hospital à razão \dfrac{\ln(1-t)}{t}. Calculamos as derivadas do numerador e do denominador em relação a t:
  • Derivada do numerador: \dfrac{d}{dt}\ln(1-t)= -\dfrac{1}{1-t}.
  • Derivada do denominador: \dfrac{d}{dt}t = 1.
    Pelo teorema:
\lim_{t\to 0^+}\frac{\ln(1-t)}{t}=\lim_{t\to 0^+}\left(-\frac{1}{1-t}\right)=-\frac{1}{1-0}=-1.

Passo 7

Voltando para \ln y(x): lembrando que \ln y(x)=2\cdot \dfrac{\ln(1-1/x)}{1/x}, a conclusão anterior diz que a razão tende a -1. Portanto
\lim_{x\to+\infty}\ln y(x)=2\cdot (-1)=-2.

Passo 8

Passando do logaritmo para a função original: a função exponencial é contínua, então podemos trocar o limite com a exponenciação. Se \lim_{x\to+\infty}\ln y(x)=-2, então
\lim_{x\to+\infty} y(x)=\lim_{x\to+\infty} e^{\ln y(x)} = e^{-2}.
Portanto o limite pedido é e^{-2}.

Resposta

e^{-2}

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