Calcule os seguintes limites, usando L’Hospital:
Passo 1
Enunciado: calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é uma potência em que a base é
e o expoente é . - A variável tende para
. - O enunciado pede explicitamente que usemos L’Hospital (portanto vamos aplicar aquele truque clássico com logaritmo e depois L’Hospital).
Passo 2
Motivação e transformação inicial (por que tomar logaritmo?): quando temos limites do tipo
é muito útil trabalhar com o logaritmo natural porque ele transforma potência em produto, o que costuma facilitar o uso do teorema de L’Hospital. Definimos a função cujo limite queremos:
Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados (isso é válido porque a base aqui é positiva para
, então
está bem definido):
O plano: calcular
usando L’Hospital e depois recuperar
por exponenciação.
Passo 3
Analisando a forma indeterminada de
: quando
temos
e
, logo o produto é da forma
, que é indeterminado. Para aplicar L’Hospital precisamos de uma razão
ou
. Vamos reescrever o produto como uma razão dividindo e multiplicando de forma conveniente. Uma forma comum é:
Agora a razão
tem a forma
quando
, porque numerador vai para
e denominador
também vai para
. Então podemos aplicar L’Hospital nessa razão.
Passo 4
Lema de L’Hospital (explicação didática rápida): se temos
com forma indeterminada
ou
, e se
e
são diferenciáveis perto de
com
(salvo no próprio
), então
se o limite à direita existir (ou for
). Aqui vamos aplicar isso com a variável
, ou para simplificar faremos uma mudança de variável
(isso deixa o limite em forma mais direta).
Passo 5
Fazendo a mudança de variável
. Quando
temos
. Reescrevemos a razão:
Agora avaliaremos
Verifique a indeterminação: quando
,
e
, logo é um caso
, podemos aplicar L’Hospital.
Passo 6
Aplicando L’Hospital à razão
. Calculamos as derivadas do numerador e do denominador em relação a
:
- Derivada do numerador:
. - Derivada do denominador:
.
Pelo teorema:
Passo 7
Voltando para
: lembrando que
, a conclusão anterior diz que a razão tende a
. Portanto
Passo 8
Passando do logaritmo para a função original: a função exponencial é contínua, então podemos trocar o limite com a exponenciação. Se
, então
Portanto o limite pedido é
.