Calcule os seguintes limites, usando L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{2 x^{3}-x-1}{x^{4}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2x^{3}-x-1}{x^{4}-1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
\; a expressão do numerador é \;2x^{3}-x-1.
\; a expressão do denominador é \;x^{4}-1.
\; o ponto de interesse é x\to 1.
Observação imediata (informação útil para decidir o método): ao substituir x=1 diretamente obtemos no numerador \;2\cdot1^{3}-1-1=0 e no denominador \;1^{4}-1=0, ou seja, temos a forma indeterminada \;0/0.

Passo 2

Quando encontramos a forma indeterminada \;0/0 podemos usar a Regra de L’Hospital (o enunciado já pediu para usar L’Hospital). Vou explicar o que é essa regra e por que ela funciona aqui, de forma bem prática.
Enunciado prático da Regra de L’Hospital (versão para \;0/0):
Se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0, e se as derivadas f'(x) e g'(x) existem numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), e se o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
O que isso significa na prática:
  • Em vez de tentar manipular a fração original diretamente, derivamos numerador e denominador separadamente e calculamos o limite da razão das derivadas.
  • Podemos aplicar a regra apenas quando encontramos uma forma indeterminada como \;0/0 (ou \pm\infty/\pm\infty), e quando as derivadas existem adequadamente.
No nosso caso, já vimos que a substituição direta dá \;0/0, e as funções polinomiais têm derivadas bem definidas em todo lugar. Portanto podemos aplicar L’Hospital e passar a calcular
\lim_{x\to 1}\frac{(2x^{3}-x-1)'}{(x^{4}-1)'}.

Passo 3

Agora vou calcular as derivadas passo a passo, lembrando a regra de derivação básica que vamos usar.
Regra que usamos (regra do poder/power rule):
Para qualquer inteiro n, \bigl(x^{n}\bigr)' = n x^{n-1}.
Além disso, a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é zero.
Derivando o numerador \;2x^{3}-x-1:
  • Derivada de \;2x^{3} é \;2\cdot 3 x^{2} = 6x^{2}.
  • Derivada de \;-x é -1.
  • Derivada de \;-1 é 0.
Logo
(2x^{3}-x-1)' = 6x^{2}-1.
Derivando o denominador \;x^{4}-1:
  • Derivada de \;x^{4} é \;4x^{3}.
  • Derivada de \;-1 é 0.
Logo
(x^{4}-1)' = 4x^{3}.
Pelo enunciado da regra de L’Hospital, o limite original passa a ser
\lim_{x\to 1}\frac{2x^{3}-x-1}{x^{4}-1} = \lim_{x\to 1}\frac{6x^{2}-1}{4x^{3}}.

Passo 4

Agora avaliamos o limite da razão das derivadas por substituição direta, pois não há mais indeterminação (vamos verificar).
Substituindo x=1 em \;6x^{2}-1 obtemos:
6\cdot 1^{2}-1 = 6-1 = 5.
Substituindo x=1 em \;4x^{3} obtemos:
4\cdot 1^{3} = 4.
Portanto o limite da razão das derivadas é
\frac{5}{4}.
Como a aplicação de L’Hospital é válida aqui, concluímos que o limite original vale \;5/4.
Dica rápida extra para a prova: às vezes dá para fatorar e cancelar antes de usar L’Hospital (por exemplo, x^{4}-1=(x-1)(x+1)(x^{2}+1)), mas como o enunciado pediu L’Hospital e as derivadas foram fáceis, essa aplicação direta foi a mais rápida.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{4}

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