Calcule os seguintes limites, usando L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
a expressão do numerador é
.
a expressão do denominador é
.
o ponto de interesse é
.
Observação imediata (informação útil para decidir o método): ao substituir
diretamente obtemos no numerador
e no denominador
, ou seja, temos a forma indeterminada
.
Passo 2
Quando encontramos a forma indeterminada
podemos usar a Regra de L’Hospital (o enunciado já pediu para usar L’Hospital). Vou explicar o que é essa regra e por que ela funciona aqui, de forma bem prática.
Enunciado prático da Regra de L’Hospital (versão para
):
Se e
, e se as derivadas
e
existem numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), e se o limite
Se
existe (ou é
), então
O que isso significa na prática:
- Em vez de tentar manipular a fração original diretamente, derivamos numerador e denominador separadamente e calculamos o limite da razão das derivadas.
- Podemos aplicar a regra apenas quando encontramos uma forma indeterminada como
(ou ), e quando as derivadas existem adequadamente.
No nosso caso, já vimos que a substituição direta dá
, e as funções polinomiais têm derivadas bem definidas em todo lugar. Portanto podemos aplicar L’Hospital e passar a calcular
Passo 3
Agora vou calcular as derivadas passo a passo, lembrando a regra de derivação básica que vamos usar.
Regra que usamos (regra do poder/power rule):
Para qualquer inteiro ,
.
Além disso, a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é zero.
Para qualquer inteiro
Além disso, a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e a derivada de uma constante é zero.
Derivando o numerador
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo
Derivando o denominador
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo
Pelo enunciado da regra de L’Hospital, o limite original passa a ser
Passo 4
Agora avaliamos o limite da razão das derivadas por substituição direta, pois não há mais indeterminação (vamos verificar).
Substituindo
em
obtemos:
Substituindo
em
obtemos:
Portanto o limite da razão das derivadas é
Como a aplicação de L’Hospital é válida aqui, concluímos que o limite original vale
.
Dica rápida extra para a prova: às vezes dá para fatorar e cancelar antes de usar L’Hospital (por exemplo,
), mas como o enunciado pediu L’Hospital e as derivadas foram fáceis, essa aplicação direta foi a mais rápida.