Determine o valor dos seguintes limites, justificando sua resposta. \lim _{x \rightarrow 0} x q(x), sendo q(x)=\left\{\begin{array}{r}1, \text { se } x \in \mathbb{Q} \\\\ -1, \text { se } x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array}\right.
e pede o valor do limite \lim_{x\to 0} x\,q(x).
Informações relevantes que temos do enunciado:
Para todo x real, q(x) só pode tomar os valores 1 ou -1.
Queremos analisar o comportamento de x\,q(x) quando x se aproxima de 0.]
Passo 2
Observação importante sobre o módulo de q(x). Como q(x)\in\{1,-1\} para todo x, vale
|q(x)|=1\quad\text{para todo }x.
Multiplicando pelo módulo de x obtemos
|x\,q(x)|=|x|\cdot|q(x)|=|x|.
Isto mostra que o módulo de x\,q(x) é exatamente |x|.
Passo 3
Usando a identidade do passo anterior, podemos escrever a desigualdade padrão envolvendo módulo: para qualquer número real y vale -|y|\le y\le |y|. Aplicando com y=x\,q(x) obtemos, para todo x,
-|x|\le x\,q(x)\le |x|.
Assim x\,q(x) está “espremido” entre -|x| e |x|.
Passo 4
Aplicamos agora o Teorema do Confronto (teorema do sanduíche): se duas funções f(x) e h(x) têm o mesmo limite L quando x\to a e uma terceira função g(x) satisfaz f(x)\le g(x)\le h(x) em torno de a, então \lim_{x\to a} g(x)=L.
No nosso caso tomamos f(x)=-|x|, g(x)=x\,q(x) e h(x)=|x|. Sabemos que
Como -|x|\le x\,q(x)\le |x| para todo x, pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\to 0} x\,q(x)=0.
Passo 5
(Complemento direto usando definição \varepsilon-\delta, para fixar a ideia.) Para mostrar \lim_{x\to 0} x\,q(x)=0 usando a definição, note que
\big|x\,q(x)-0\big|=|x\,q(x)|=|x|.
Dado \varepsilon>0, basta escolher \delta=\varepsilon. Então, se |x-0|=|x|<\delta teremos |x\,q(x)|=|x|<\varepsilon. Isso prova diretamente que o limite é 0.