Calcule os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite:
Informações que o enunciado nos dá e que são úteis:
- Ao aproximar
de tem-se , logo o numerador tende a . - O denominador
tende a quando . - Portanto a expressão tem a forma indeterminada
.
Passo 2
Vou usar a regra de L’Hospital (já pedida no enunciado). L’Hospital diz o seguinte, de forma prática: se
e
e
são diferenciáveis perto de
com
próximo de
, então
desde que o limite à direita exista (ou seja
). Aplicando isso à nossa fração, calculo as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador:
Derivada do denominador: uso a regra da cadeia para
:
Pelo enunciado da regra, então
Passo 3
Avalio a nova forma quando
:
portanto a nova expressão ainda é uma indeterminação do tipo
. Isso permite aplicar L’Hospital novamente (a regra pode ser repetida enquanto formos obtendo indeterminações e as hipóteses forem válidas).
Passo 4
Aplico L’Hospital pela segunda vez, calculando as derivadas da nova numerador e denominador.
Derivada do numerador
:
Derivada do denominador
:
Pelo L’Hospital de novo:
Passo 5
Agora substituo
na função
:
Logo
Passo 6
Resumo do raciocínio: a forma inicial era
, apliquei L’Hospital uma vez e obtive outra
, apliquei L’Hospital de novo e o limite ficou simples de avaliar. Resultado final obtido:
. Força aí — esse tipo de limite costuma dar esse looping com L’Hospital; praticando vira rotina!