Calcule os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{1+\cos (x)}{(\pi-x)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to\pi}\frac{1+\cos(x)}{(\pi-x)^{2}}.
Informações que o enunciado nos dá e que são úteis:
  • Ao aproximar x de \pi tem-se \cos(\pi)=-1, logo o numerador tende a 1+\cos(\pi)=0.
  • O denominador (\pi-x)^{2} tende a 0 quando x\to\pi.
  • Portanto a expressão tem a forma indeterminada 0/0.

Passo 2

Vou usar a regra de L’Hospital (já pedida no enunciado). L’Hospital diz o seguinte, de forma prática: se
\lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0
e f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq0 próximo de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite à direita exista (ou seja \pm\infty). Aplicando isso à nossa fração, calculo as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\bigl(1+\cos(x)\bigr)=-\sin(x).
Derivada do denominador: uso a regra da cadeia para (\pi-x)^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl((\pi-x)^{2}\bigr)=2(\pi-x)\cdot\frac{d}{dx}(\pi-x)=2(\pi-x)\cdot(-1)=-2(\pi-x).
Pelo enunciado da regra, então
\lim_{x\to\pi}\frac{1+\cos(x)}{(\pi-x)^{2}}=\lim_{x\to\pi}\frac{-\sin(x)}{-2(\pi-x)}=\lim_{x\to\pi}\frac{\sin(x)}{2(\pi-x)}.

Passo 3

Avalio a nova forma quando x\to\pi:
\sin(\pi)=0,\qquad 2(\pi-\pi)=0,
portanto a nova expressão ainda é uma indeterminação do tipo 0/0. Isso permite aplicar L’Hospital novamente (a regra pode ser repetida enquanto formos obtendo indeterminações e as hipóteses forem válidas).

Passo 4

Aplico L’Hospital pela segunda vez, calculando as derivadas da nova numerador e denominador.
Derivada do numerador \sin(x):
\frac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x).
Derivada do denominador 2(\pi-x):
\frac{d}{dx}\bigl(2(\pi-x)\bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}(\pi-x)=2\cdot(-1)=-2.
Pelo L’Hospital de novo:
\lim_{x\to\pi}\frac{\sin(x)}{2(\pi-x)}=\lim_{x\to\pi}\frac{\cos(x)}{-2}=-\frac{1}{2}\lim_{x\to\pi}\cos(x).

Passo 5

Agora substituo x=\pi na função \cos(x):
\cos(\pi)=-1.
Logo
-\frac{1}{2}\lim_{x\to\pi}\cos(x)=-\frac{1}{2}\cdot(-1)=\frac{1}{2}.

Passo 6

Resumo do raciocínio: a forma inicial era 0/0, apliquei L’Hospital uma vez e obtive outra 0/0, apliquei L’Hospital de novo e o limite ficou simples de avaliar. Resultado final obtido: \tfrac{1}{2}. Força aí — esse tipo de limite costuma dar esse looping com L’Hospital; praticando vira rotina!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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