Calcule os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
Passo 1
O problema pede calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A base é
e a potência é . - Quando
tem-se e , portanto . - Assim a expressão tem a forma indeterminada
. - A tarefa é avaliar esse limite (usar a regra de L’Hospital, como pedido).
Passo 2
Transformação clássica para formas
: tomar logaritmo para transformar potência em produto. Defina
Então
Explicação didática: a função
é contínua, então se existir
então
. Logo basta calcular
.
Passo 3
Análise do quociente
quando
:
- Numerador:
. - Denominador:
.
Portanto é uma indeterminação do tipo, e podemos aplicar a regra de L’Hospital (as funções são diferenciáveis para perto de , , exceto em onde não interessa a diferenciabilidade pontual, apenas o limite).
Aplicando L’Hospital, diferenciamos numerador e denominador em relação a
:
- Derivada do numerador:
. - Derivada do denominador:
.
Então, por L’Hospital,
Passo 4
Simplificar a razão das derivadas:
Agora tome o limite quando
:
Portanto
.
Passo 5
Voltar para
: como
e a exponencial é contínua,
Comentário didático extra (atalho útil na prova): pode-se também usar a aproximação
quando
. Como
, obtém-se
, chegando ao mesmo resultado sem derivadas explicitamente.