Calcule os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} x^{1 / 1-x^{2}}

Passo 1

O problema pede calcular o limite
\lim_{x\to 1^{-}} x^{1/(1-x^{2})}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A base é x e a potência é 1/(1-x^{2}).
  • Quando x\to 1^{-} tem-se \,x\to 1^{-} e \,1-x^{2}\to 0^{+}, portanto 1/(1-x^{2})\to +\infty.
  • Assim a expressão tem a forma indeterminada 1^{+\infty}.
  • A tarefa é avaliar esse limite (usar a regra de L’Hospital, como pedido).

Passo 2

Transformação clássica para formas 1^{\infty}: tomar logaritmo para transformar potência em produto. Defina
y = x^{1/(1-x^{2})}.
Então
\ln y = \frac{\ln x}{1-x^{2}}.
Explicação didática: a função \exp é contínua, então se existir \displaystyle L=\lim_{x\to1^-}\ln y então \displaystyle\lim_{x\to1^-} y = e^{L}. Logo basta calcular \displaystyle\lim_{x\to1^-}\frac{\ln x}{1-x^{2}}.

Passo 3

Análise do quociente \displaystyle\frac{\ln x}{1-x^{2}} quando x\to1^{-}:
  • Numerador: \ln x \to 0.
  • Denominador: 1-x^{2}\to 0.
    Portanto é uma indeterminação do tipo 0/0, e podemos aplicar a regra de L’Hospital (as funções são diferenciáveis para x perto de 1, x>0, exceto em x=1 onde não interessa a diferenciabilidade pontual, apenas o limite).
Aplicando L’Hospital, diferenciamos numerador e denominador em relação a x:
  • Derivada do numerador: \dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}.
  • Derivada do denominador: \dfrac{d}{dx}(1-x^{2})=-2x.
Então, por L’Hospital,
\lim_{x\to1^-}\frac{\ln x}{1-x^{2}}=\lim_{x\to1^-}\frac{1/x}{-2x}.

Passo 4

Simplificar a razão das derivadas:
\frac{1/x}{-2x} = -\frac{1}{2x^{2}}.
Agora tome o limite quando x\to1^{-}:
\lim_{x\to1^-}\left(-\frac{1}{2x^{2}}\right) = -\frac{1}{2}.
Portanto \displaystyle\lim_{x\to1^-}\ln y = -\frac{1}{2}.

Passo 5

Voltar para y: como \ln y \to -\tfrac{1}{2} e a exponencial é contínua,
\lim_{x\to1^-} y = \lim_{x\to1^-} x^{1/(1-x^{2})} = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}.
Comentário didático extra (atalho útil na prova): pode-se também usar a aproximação \ln x \sim x-1 quando x\to1. Como 1-x^{2}=(1-x)(1+x)\sim 2(1-x), obtém-se \dfrac{\ln x}{1-x^{2}}\sim \dfrac{x-1}{2(1-x)}=-\tfrac{1}{2}, chegando ao mesmo resultado sem derivadas explicitamente.

Resposta

\displaystyle e^{-1/2}

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