Calcule os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite:
Informações dadas e observações imediatas:
- A função do numerador é
. - A função do denominador é
. - Ao substituir
diretamente obtemos um caso indeterminado, pois
logo temos a forma
.
Passo 2
Explicação da regra de L’Hospital (de forma prática):
- Se
e são diferenciáveis num intervalo que contém (exceto possivelmente em ), e (ou ambos ), e se próximo de e o limite existe (ou é ), então
- Em palavras: quando dá
(ou ), podemos derivar numerador e denominador e avaliar o limite da razão das derivadas — desde que as hipóteses acima se cumpram. - Vou aplicar essa regra aqui porque a forma inicial é
.
Passo 3
Confirmando a indeterminação detalhadamente:
Portanto a forma é
e L’Hospital pode ser tentada.
Passo 4
Derivar numerador e denominador (com pequenas explicações):
- Numerador:
. Usando a regra da cadeia, a derivada de é vezes a derivada de , que é . Logo
- Denominador:
. Derivando termo a termo (derivada de é ; derivada de é ):
Passo 5
Aplicando L’Hospital: substituir pelo limite das derivadas
desde que esse último limite exista. Agora avaliamos o novo quociente em
:
- No numerador:
. - No denominador:
.
Como obtemos um quociente finito e o denominador não é zero, podemos simplesmente calcular:
Passo 6
Verificação rápida por séries (checagem intuitiva, opcional): usando expansões em série em torno de
,
então
e a razão para pequenas
comporta-se como
, confirmando o resultado obtido por L’Hospital.