Calcule os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2 x}-1}{x^{2}-\operatorname{sen}(x)}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{x\to 0} \frac{e^{2x}-1}{x^{2}-\operatorname{sen}(x)}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função do numerador é e^{2x}-1.
  • A função do denominador é x^{2}-\operatorname{sen}(x).
  • Ao substituir x=0 diretamente obtemos um caso indeterminado, pois
e^{2\cdot 0}-1=0 \qquad\text{e}\qquad 0^{2}-\operatorname{sen}(0)=0,
logo temos a forma \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Explicação da regra de L’Hospital (de forma prática):
  • Se f e g são diferenciáveis num intervalo que contém a (exceto possivelmente em a), e \lim_{x\to a} f(x)=\lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty), e se g'(x)\neq 0 próximo de a e o limite \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)} existe (ou é \pm\infty), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
  • Em palavras: quando dá 0/0 (ou \infty/\infty), podemos derivar numerador e denominador e avaliar o limite da razão das derivadas — desde que as hipóteses acima se cumpram.
  • Vou aplicar essa regra aqui porque a forma inicial é \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Confirmando a indeterminação detalhadamente:
\lim_{x\to 0} (e^{2x}-1)=e^{0}-1=0, \qquad \lim_{x\to 0} (x^{2}-\operatorname{sen}(x))=0^{2}-\operatorname{sen}(0)=0.
Portanto a forma é \tfrac{0}{0} e L’Hospital pode ser tentada.

Passo 4

Derivar numerador e denominador (com pequenas explicações):
  • Numerador: f(x)=e^{2x}-1. Usando a regra da cadeia, a derivada de e^{2x} é e^{2x} vezes a derivada de 2x, que é 2. Logo
f'(x)=2e^{2x}.
  • Denominador: g(x)=x^{2}-\operatorname{sen}(x). Derivando termo a termo (derivada de x^{2} é 2x; derivada de \operatorname{sen} x é \cos x):
g'(x)=2x-\cos x.

Passo 5

Aplicando L’Hospital: substituir pelo limite das derivadas
\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{x^{2}-\operatorname{sen}(x)} = \lim_{x\to 0}\frac{2e^{2x}}{2x-\cos x},
desde que esse último limite exista. Agora avaliamos o novo quociente em x\to 0:
  • No numerador: 2e^{2\cdot 0}=2e^{0}=2.
  • No denominador: 2\cdot 0-\cos 0 = 0-1=-1.
Como obtemos um quociente finito e o denominador não é zero, podemos simplesmente calcular:
\lim_{x\to 0}\frac{2e^{2x}}{2x-\cos x}=\frac{2}{-1}=-2.

Passo 6

Verificação rápida por séries (checagem intuitiva, opcional): usando expansões em série em torno de 0,
e^{2x}-1=2x+2x^{2}+\mathcal{O}(x^{3}), \qquad \operatorname{sen} x = x-\frac{x^{3}}{6}+\mathcal{O}(x^{5}),
então
x^{2}-\operatorname{sen} x = -x + x^{2}+\frac{x^{3}}{6}+\mathcal{O}(x^{4}),
e a razão para pequenas x comporta-se como \dfrac{2x+\cdots}{-x+\cdots}\to -2, confirmando o resultado obtido por L’Hospital.

Resposta

-2

Exercícios relacionados