Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{1 / x}}{\ln x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0^{+}}\frac{e^{1/x}}{\ln x}
usando a Regra de L’Hospital. O conteúdo da matéria aqui é o cálculo de limite de quociente que se apresenta na forma indeterminada \infty/\infty, onde aplicaremos a Regra de L’Hospital diferenciando numerador e denominador.

Passo 2

Verificamos o tipo de indeterminação ao fazermos x\to0^{+}:
– Em e^{1/x}, como 1/x\to+\infty, temos e^{1/x}\to+\infty.
– Em \ln x, como x\to0^{+}, temos \ln x\to-\infty.
Logo obtemos a forma \infty/(-\infty), que é um caso de \infty/\infty e permite usar L’Hospital.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hospital, diferenciamos numerador e denominador:
– Derivada de e^{1/x} é
\frac{d}{dx}\bigl(e^{1/x}\bigr) =e^{1/x}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(1/x\bigr) =e^{1/x}\cdot\bigl(-\tfrac{1}{x^{2}}\bigr) =-\frac{e^{1/x}}{x^{2}}.
– Derivada de \ln x é
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}.
Portanto, pelo L’Hospital, nosso limite vira
\lim_{x\to0^{+}}\frac{e^{1/x}}{\ln x} =\lim_{x\to0^{+}} \frac{-\tfrac{e^{1/x}}{x^{2}}}{\tfrac{1}{x}} =\lim_{x\to0^{+}}\Bigl(-\frac{e^{1/x}}{x^{2}}\cdot x\Bigr) =\lim_{x\to0^{+}}\Bigl(-\frac{e^{1/x}}{x}\Bigr).

Passo 4

Analisando
\lim_{x\to0^{+}}\Bigl(-\frac{e^{1/x}}{x}\Bigr),
temos que e^{1/x}\to+\infty e x\to0^{+}, de modo que \tfrac{e^{1/x}}{x}\to+\infty. Assim o sinal negativo leva a
-\frac{e^{1/x}}{x}\;\longrightarrow\;-\infty.

Resposta

-\infty

Exercícios relacionados