Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\displaystyle \lim_{x\to1}\Bigl(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\Bigr).
Observando que \frac{x}{x-1}\to\infty e \frac{1}{\ln x}\to\infty quando x\to1, estamos diante da forma indeterminada \infty-\infty. Para aplicar a Regra de L’Hospital, vamos expressar essa diferença como um único quociente.

Passo 2

Colocando as frações sobre o mesmo denominador, obtemos
\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x} =\frac{x\ln x-(x-1)}{(x-1)\,\ln x}.
No limite x\to1, tanto o numerador quanto o denominador vão a zero, resultando em 0/0. Agora podemos usar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

Definimos
N(x)=x\ln x-(x-1), \quad D(x)=(x-1)\,\ln x.
Derivando N(x): pela regra do produto em x\ln x,
\frac{d}{dx}(x\ln x) =\ln x + x\cdot\frac{1}{x} =\ln x+1,
e a derivada de -(x-1) é -1, logo
N'(x)=\bigl(\ln x+1\bigr)-1=\ln x.
Derivando D(x) pela regra do produto,
D'(x) =(x-1)'\ln x + (x-1)\,(\ln x)' =\ln x + \frac{x-1}{x}.
Assim o limite vira
\lim_{x\to1}\frac{N'(x)}{D'(x)} =\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{\ln x + \frac{x-1}{x}},
que de novo é 0/0. Aplicamos L’Hospital mais uma vez.

Passo 4

Derivamos pela segunda vez:
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}, \quad \frac{d}{dx}\Bigl(\ln x + \frac{x-1}{x}\Bigr) =\frac{1}{x} + \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x-1}{x}\Bigr) =\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}.
Portanto
\lim_{x\to1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}} =\frac{1/1}{1/1 + 1/1} =\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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