Calcule os seguintes limites usando a Regra de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede calcular
.
Observando que e
quando
, estamos diante da forma indeterminada
. Para aplicar a Regra de L’Hospital, vamos expressar essa diferença como um único quociente.
Observando que
Passo 2
Colocando as frações sobre o mesmo denominador, obtemos
No limite
, tanto o numerador quanto o denominador vão a zero, resultando em
. Agora podemos usar a Regra de L’Hospital.
Passo 3
Definimos
Derivando
: pela regra do produto em
,
e a derivada de
é
, logo
Derivando
pela regra do produto,
Assim o limite vira
que de novo é
. Aplicamos L’Hospital mais uma vez.
Passo 4
Derivamos pela segunda vez:
Portanto