Calcule os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \cdot \ln (\operatorname{sen}(x))

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} x\cdot \ln\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável x tende a 0 pela direita ( x\to0^{+}).
  • A expressão envolve o produto entre x (que tende a 0) e \ln(\operatorname{sen}(x)) (que tende a -\infty quando \operatorname{sen}(x)\to0^{+}).
  • Portanto, a expressão tem a forma indeterminada 0\cdot(-\infty).

Passo 2

Identificar a forma indeterminada com mais precisão:
  • Quando x\to0^{+} tem-se \operatorname{sen}(x)\to0^{+}.
  • Logo \ln\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr)\to -\infty.
  • Como x\to0^{+} também x\to0.
  • Portanto o produto x\cdot \ln(\operatorname{sen}(x)) é da forma indeterminada 0\cdot(-\infty), que dá para tratar transformando numa razão adequada para aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Transformar o produto em uma razão para usar L’Hospital:
Escreve-se
x\cdot \ln\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr) = \frac{\ln\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr)}{1/x}.
Agora examine os limites das partes:
  • O numerador \ln(\operatorname{sen}(x))\to -\infty quando x\to0^{+}.
  • O denominador 1/x\to +\infty quando x\to0^{+}.
    Portanto obtemos uma forma -\infty / +\infty, que é uma das hipóteses em que se pode aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 4

Lembrando a regra de L’Hospital (em linguagem simples):
Se \displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty e \displaystyle\lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty (ou ambos 0), e f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando o limite do lado direito existe. Aqui as hipóteses estão satisfeitas para
f(x)=\ln(\operatorname{sen}(x)) e g(x)=1/x quando x\to0^{+}.

Passo 5

Calcular as derivadas necessárias (explicando as regras usadas):
  • Derivada de f(x)=\ln(\operatorname{sen}(x)). Usando a regra da cadeia: a derivada de \ln(u) é u'/u. Aqui u=\operatorname{sen}(x) tem derivada u'=\cos(x). Logo
f'(x)=\frac{\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}=\cot(x).
  • Derivada de g(x)=1/x. Usando a regra da potência x^{-1} tem derivada -1\cdot x^{-2}. Logo
g'(x)=-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 6

Aplicar L’Hospital substituindo pelas derivadas:
\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln(\operatorname{sen}(x))}{1/x} = \lim_{x\to0^{+}}\frac{\cot(x)}{-1/x^{2}} = \lim_{x\to0^{+}}\biggl(-x^{2}\cot(x)\biggr).
Simplificando a expressão:
-x^{2}\cot(x) = -\frac{x^{2}\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}.

Passo 7

Avaliar o limite final. Reescreve-se para facilitar:
-\frac{x^{2}\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)} = -x\cdot \frac{x\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}.
Agora use limites simples:
  • \displaystyle\lim_{x\to0}\cos(x)=1.
  • \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1, portanto \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{\operatorname{sen}(x)}=1.
    Juntando,
\lim_{x\to0^{+}}\frac{x\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)} = 1\cdot 1 = 1.
Assim
\lim_{x\to0^{+}}\biggl(-x\cdot \frac{x\cos(x)}{\operatorname{sen}(x)}\biggr) = \lim_{x\to0^{+}}(-x)\cdot 1 = 0.

Passo 8

Comentário rápido (motivação extra): a intuição é que \ln(\operatorname{sen}(x)) diverge como \ln(x) quando x\to0^{+}, e x\ln(x)\to0. A abordagem com L’Hospital formaliza isso; outra via seria usar séries ou comparação direta com x\ln(x).

Resposta

0

Exercícios relacionados