Calcule os seguintes limites usando a regra de L’Hospital:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável
tende a pela direita ( ). - A expressão envolve o produto entre
(que tende a ) e (que tende a quando ). - Portanto, a expressão tem a forma indeterminada
.
Passo 2
Identificar a forma indeterminada com mais precisão:
- Quando
tem-se . - Logo
. - Como
também . - Portanto o produto
é da forma indeterminada , que dá para tratar transformando numa razão adequada para aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 3
Transformar o produto em uma razão para usar L’Hospital:
Escreve-se
Escreve-se
Agora examine os limites das partes:
- O numerador
quando . - O denominador
quando .
Portanto obtemos uma forma, que é uma das hipóteses em que se pode aplicar a regra de L’Hospital.
Passo 4
Lembrando a regra de L’Hospital (em linguagem simples):
Se e
(ou ambos 0), e
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto possivelmente em
), então
Se
quando o limite do lado direito existe. Aqui as hipóteses estão satisfeitas para
e
quando
.
Passo 5
Calcular as derivadas necessárias (explicando as regras usadas):
- Derivada de
. Usando a regra da cadeia: a derivada de é . Aqui tem derivada . Logo
- Derivada de
. Usando a regra da potência tem derivada . Logo
Passo 6
Aplicar L’Hospital substituindo pelas derivadas:
Simplificando a expressão:
Passo 7
Avaliar o limite final. Reescreve-se para facilitar:
Agora use limites simples:
-
. -
, portanto .
Juntando,
Assim
Passo 8
Comentário rápido (motivação extra): a intuição é que
diverge como
quando
, e
. A abordagem com L’Hospital formaliza isso; outra via seria usar séries ou comparação direta com
.