Calcule os seguintes limites usando o Teorema do Confronto:
b) lim x 0 raiz[3]x 2^sen(1x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite usando o Teorema do Confronto, que é uma ferramenta super útil quando a gente consegue “apertar” a função que queremos limitar entre duas outras funções cujo limite já conhecemos. O exercício que temos é:
lim x 0 raiz[3]x cdot 2^sin(1x^2)
Aqui, vamos precisar entender como o sen e as potências envolvidas se comportam quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo -1 <= sin(1x^2) <= 1 . Sabemos que o sen de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:

Passo 3

Agora, vamos elevar 2 a esses limites. Como a função exponencial preserva a desigualdade:
2^-1 <= 2^sin(1x^2) <= 2^1
Ou seja:
12 <= 2^sin(1x^2) <= 2

Passo 4

Multiplicando toda a desigualdade pela 12 cdot raiz[3]x <= raiz[3]x cdot 2^sin(1x^2) <= 2 cdot raiz[3]x , que é a mesma coisa que , temos:

Passo 5

Agora, vamos analisar os limites das funções que estão nos lados da nossa desigualdade quando limx to 0 raiz[3]x = 0 tende a 0.
Sabemos que:
limx to 0 12 cdot raiz[3]x = 0 e limx to 0 2 cdot raiz[3]x = 0
Portanto:

Passo 6

Pelo Teorema do Confronto, se uma função está “presa” entre duas funções que têm o mesmo limite, então o limite da função no meio também é esse valor. Ou seja:
limx to 0 raiz[3]x cdot 2^sin(1x^2) = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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