Considere a função dada por:
Calcule também
para os pontos
. Use isto e o item (a), para analisar a continuidade de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida de forma diferente para o ponto
e para qualquer outro ponto
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve derivadas parciais e análise de continuidade. Precisamos calcular a derivada parcial de
em relação a
para pontos diferentes de
e, depois, usar isso para analisar a continuidade da derivada parcial de
em relação a
no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular uma derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
é a taxa de variação de
quando apenas
muda, mantendo
constante. Isso significa que vamos derivar
em relação a
.
Passo 3
Aplicando a regra do produto para derivadas, temos duas partes:
e
. A derivada de
em relação a
é
. Agora, precisamos derivar
em relação a
.
Passo 4
Para derivar
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
em relação a
é
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, aplicando a regra do produto, a derivada parcial de
em relação a
é:
Substituindo
,
,
e
:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
Agora, precisamos analisar a continuidade da derivada parcial de
em relação a
no ponto
. Para isso, geralmente verificamos se o limite da derivada parcial quando
se aproxima de
existe e é igual ao valor da derivada no ponto.
Passo 8
Como o exercício menciona usar o item (a), que provavelmente envolvia a continuidade de
ou das derivadas parciais, concluímos que a expressão encontrada para
mostra comportamentos oscilatórios devido ao seno e cosseno, tornando a continuidade da derivada parcial de
em relação a
no ponto
não garantida.
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
para
é:
Além disso, a análise mostra que
não é contínua no ponto
.