Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
-sen(x y) [y + x d y/d x] = 0, y(1) = pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para testarmos se a EDO é exata. Se não for, a gente precisa encontrar um fator integrante para torná-la exata. Depois, vamos resolver a EDO e, como temos uma condição inicial , vamos achar a solução particular. Para isso, vamos usar conceitos de EDOs exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise. Podemos dividir ambos os lados por (desde que ):
Agora, vamos colocar essa equação na forma padrão de uma EDO de primeira ordem:
Aqui, temos:

Passo 3

Para verificar se a EDO é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a e ver se elas são iguais.
Vamos calcular:
Como , a equação é exata!

Passo 4

Já que a EDO é exata, não precisamos encontrar um fator integrante. Vamos seguir para resolver a equação.

Passo 5

Para resolver uma EDO exata, buscamos uma função potencial tal que:
Vamos integrar em relação a :
Agora, derivamos em relação a :
Sabemos que isso deve ser igual a :
Então, a função potencial é:

Passo 6

A solução geral da EDO exata é dada por:
Onde é uma constante. Substituindo nossa função potencial:
Então, a solução geral é:

Passo 7

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar a constante .
Substituindo e na solução geral:

Resposta

A solução particular da EDO é:

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