Calcule os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital, se aplicável. Verifique sempre a indeterminação antes de derivar.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações fornecidas e observações iniciais:
- Numerador:
. - Denominador:
. - Domínio relevante:
está definido para , e o ponto de interesse é (que pertence ao domínio). - Valores no ponto
: - Portanto a expressão avaliada em
tem a forma indeterminada .
A partir daqui vamos verificar se podemos aplicar a Regra de L’Hôspital e então calcular o limite.
Passo 2
Explicando a Regra de L’Hôspital de forma direta e prática (a ideia que vai ajudar na prova):
- Se temos duas funções
e diferenciáveis numa vizinhança de um ponto (exceto possivelmente em mesmo), e (ou ambas tendem a ), então, se o limite existir (ou for ), vale - Condições importantes (não esquecer na prova):
e devem ser diferenciáveis perto de (exceto talvez em ), e não pode ser zero em pontos que prejudiquem o limite. Sempre verificar a indeterminação antes de aplicar.
Passo 3
Verificação das hipóteses no nosso caso:
- Tomando
e . - Já vimos que
e , logo temos indeterminação do tipo . -
é polinomial, logo diferenciável em toda a reta. é diferenciável para . Assim há uma vizinhança de dentro do domínio onde ambas são diferenciáveis. - O cenário satisfaz as condições para usar a Regra de L’Hôspital.
Passo 4
Calcular as derivadas (passo obrigatório antes de aplicar a regra):
- Derivada do numerador:
Explicação rápida: a derivada de é e a de constante é . - Derivada do denominador:
Explicação rápida: a derivada de é (fórmula básica de derivadas).
Passo 5
Aplicar a Regra de L’Hôspital e simplificar:
- Pela regra,
- Simplificando a fração:
- Agora avaliando o limite:
Observação alternativa rápida (útil na prova): factorizar
e usar o limite conhecido
(ou equivalently
para
). Assim
confirmando o mesmo resultado.