Calcule os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital, se aplicável. Verifique sempre a indeterminação antes de derivar.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{\ln (x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{\ln(x)}.
Informações fornecidas e observações iniciais:
  • Numerador: x^{2}-1.
  • Denominador: \ln(x).
  • Domínio relevante: \ln(x) está definido para x>0, e o ponto de interesse é x=1 (que pertence ao domínio).
  • Valores no ponto x=1: 1^{2}-1=0,\qquad \ln(1)=0.
  • Portanto a expressão avaliada em x=1 tem a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.
    A partir daqui vamos verificar se podemos aplicar a Regra de L’Hôspital e então calcular o limite.

Passo 2

Explicando a Regra de L’Hôspital de forma direta e prática (a ideia que vai ajudar na prova):
  • Se temos duas funções f e g diferenciáveis numa vizinhança de um ponto a (exceto possivelmente em a mesmo), e \lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0(ou ambas tendem a \pm\infty), então, se o limite \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}existir (ou for \pm\infty), vale \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
  • Condições importantes (não esquecer na prova): f e g devem ser diferenciáveis perto de a (exceto talvez em a), e g'(x) não pode ser zero em pontos que prejudiquem o limite. Sempre verificar a indeterminação antes de aplicar.

Passo 3

Verificação das hipóteses no nosso caso:
  • Tomando f(x)=x^{2}-1 e g(x)=\ln(x).
  • Já vimos que \lim_{x\to1}f(x)=0 e \lim_{x\to1}g(x)=0, logo temos indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}.
  • f é polinomial, logo diferenciável em toda a reta. g=\ln(x) é diferenciável para x>0. Assim há uma vizinhança de x=1 dentro do domínio onde ambas são diferenciáveis.
  • O cenário satisfaz as condições para usar a Regra de L’Hôspital.

Passo 4

Calcular as derivadas (passo obrigatório antes de aplicar a regra):
  • Derivada do numerador: (x^{2}-1)'=2x.Explicação rápida: a derivada de x^{2} é 2x e a de constante 1 é 0.
  • Derivada do denominador: (\ln x)'=\frac{1}{x}.Explicação rápida: a derivada de \ln x é 1/x (fórmula básica de derivadas).

Passo 5

Aplicar a Regra de L’Hôspital e simplificar:
  • Pela regra, \lim_{x\rightarrow 1}\frac{x^{2}-1}{\ln(x)}=\lim_{x\rightarrow 1}\frac{2x}{1/x}.
  • Simplificando a fração: \frac{2x}{1/x}=2x\cdot x=2x^{2}.
  • Agora avaliando o limite: \lim_{x\rightarrow 1}2x^{2}=2\cdot 1^{2}=2.
Observação alternativa rápida (útil na prova): factorizar x^{2}-1=(x-1)(x+1) e usar o limite conhecido \lim_{x\to 1}\dfrac{\ln x}{x-1}=1 (ou equivalently \ln x\sim x-1 para x\to1). Assim
\frac{x^{2}-1}{\ln x}=(x+1)\cdot\frac{x-1}{\ln x}\longrightarrow 2\cdot 1=2,
confirmando o mesmo resultado.

Resposta

2

Exercícios relacionados