Calcule os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital, se aplicável. Verifique sempre a indeterminação antes de derivar.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - O ponto de interesse é
.
A pergunta é: qual é o valor desse limite quando
cresce sem limite?
Passo 2
Primeiro passo técnico: verificar se a Regra de L’Hôspital é aplicável. Para isso precisamos ver o comportamento do numerador e do denominador quando
:
-
quando . -
quando .
Portanto a expressão tem a forma
, que é uma indeterminação onde a Regra de L’Hôspital pode ser usada, desde que as funções sejam diferenciáveis em um intervalo
e a derivada do denominador não seja zero próximo ao ponto. Aqui ambas as funções são diferenciáveis para todo
real e
. Logo, podemos aplicar L’Hôspital.
Passo 3
Lembrete da Regra de L’Hôspital (versão prática): se
é uma indeterminação do tipo
ou
, e
e
são diferenciáveis perto de
com
perto de
, então, se existir,
Aqui
; a aplicação é análoga.
Passo 4
Aplicando L’Hôspital uma vez: derivar numerador e denominador.
Pelo teorema,
Verificamos novamente a forma do novo quociente:
e
, portanto ainda é
. Podemos aplicar L’Hôspital outra vez.
Passo 5
Aplicando L’Hôspital pela segunda vez: derivar de novo numerador e denominador.
Logo
Agora evaluate:
quando
, e
é constante, então
Portanto o limite original vale
.
Passo 6
Interpretação e dica prática para prova: exponentes crescem muito mais rápido que polinômios. Uma forma prática de memorizar isto é: para qualquer inteiro
,
que pode ser provado aplicando L’Hôspital
vezes. Na prova, sempre verifique a indeterminação antes e que as funções são diferenciáveis; aí aplique L’Hôspital repetidas vezes até sair da indeterminação.