Calcule os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital, se aplicável. Verifique sempre a indeterminação antes de derivar.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{e^{x}}.
Informações dadas:
  • O numerador é x^{2}.
  • O denominador é e^{x}.
  • O ponto de interesse é x\to\infty.
A pergunta é: qual é o valor desse limite quando x cresce sem limite?

Passo 2

Primeiro passo técnico: verificar se a Regra de L’Hôspital é aplicável. Para isso precisamos ver o comportamento do numerador e do denominador quando x\to\infty:
  • \displaystyle x^{2}\to\infty quando x\to\infty.
  • \displaystyle e^{x}\to\infty quando x\to\infty.
Portanto a expressão tem a forma \infty/\infty, que é uma indeterminação onde a Regra de L’Hôspital pode ser usada, desde que as funções sejam diferenciáveis em um intervalo (a,\infty) e a derivada do denominador não seja zero próximo ao ponto. Aqui ambas as funções são diferenciáveis para todo x real e \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}\neq0. Logo, podemos aplicar L’Hôspital.

Passo 3

Lembrete da Regra de L’Hôspital (versão prática): se
\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)}
é uma indeterminação do tipo 0/0 ou \infty/\infty, e f e g são diferenciáveis perto de c com g'(x)\neq0 perto de c, então, se existir,
\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui c=\infty; a aplicação é análoga.

Passo 4

Aplicando L’Hôspital uma vez: derivar numerador e denominador.
\frac{d}{dx}(x^{2})=2x,\qquad \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}.
Pelo teorema,
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}}{e^{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{e^{x}}.
Verificamos novamente a forma do novo quociente: 2x\to\infty e e^{x}\to\infty, portanto ainda é \infty/\infty. Podemos aplicar L’Hôspital outra vez.

Passo 5

Aplicando L’Hôspital pela segunda vez: derivar de novo numerador e denominador.
\frac{d}{dx}(2x)=2,\qquad \frac{d}{dx}(e^{x})=e^{x}.
Logo
\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{e^{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{2}{e^{x}}.
Agora evaluate: \displaystyle e^{x}\to\infty quando x\to\infty, e 2 é constante, então
\lim_{x\to\infty}\frac{2}{e^{x}}=0.
Portanto o limite original vale 0.

Passo 6

Interpretação e dica prática para prova: exponentes crescem muito mais rápido que polinômios. Uma forma prática de memorizar isto é: para qualquer inteiro n\ge 0,
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}}=0,
que pode ser provado aplicando L’Hôspital n vezes. Na prova, sempre verifique a indeterminação antes e que as funções são diferenciáveis; aí aplique L’Hôspital repetidas vezes até sair da indeterminação.

Resposta

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