Calcule os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital, se aplicável. Verifique sempre a indeterminação antes de derivar.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (x)-1+\frac{x^{2}}{2}}{x^{4}}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o quociente \dfrac{\cos(x)-1+\dfrac{x^{2}}{2}}{x^{4}}.
  • Pede calcular \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\cos(x)-1+\dfrac{x^{2}}{2}}{x^{4}}.
Informações relevantes (valores em x=0 que vamos verificar):
  • Numerador em x=0: \cos(0)-1+\dfrac{0^{2}}{2}.
  • Denominador em x=0: 0^{4}.

Passo 2

Verificar indeterminação no ponto x=0:
  • Calcular o numerador em x=0: \cos(0)-1+\frac{0^{2}}{2}=1-1+0=0.
  • Calcular o denominador em x=0: 0^{4}=0.
Logo a forma é \dfrac{0}{0}, que é uma indeterminação que permite considerar a Regra de L’Hôspital (desde que as funções sejam diferenciáveis nas vizinhanças necessárias — aqui são).

Passo 3

Breve explicação da Regra de L’Hôspital (forma prática que vamos usar):
  • Se \displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} 0/0 ou \infty/\infty e f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), então \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}sempre que o limite do lado direito exista (ou seja \pm\infty).
  • Pode-se aplicar a regra repetidamente: se após a primeira aplicação ainda obtiver 0/0 (ou \infty/\infty), deriva-se novamente numerador e denominador, e assim por diante, até sair da indeterminação.

Passo 4

Aplicar a primeira derivada (usando f(x)=\cos(x)-1+\tfrac{x^{2}}{2} e g(x)=x^{4}):
  • Derivadas: f'(x) = -\sin(x) + x, \qquad g'(x) = 4x^{3}.
  • Avaliando o comportamento quando x\to 0: f'(0) = -\sin(0)+0=0, \qquad g'(0)=0.
Ainda temos a forma 0/0, então aplicamos L’Hôspital novamente.

Passo 5

Segunda derivada:
  • Derivadas: f''(x) = -\cos(x) + 1, \qquad g''(x) = 12x^{2}.
  • Avaliando em x=0: f''(0) = -\cos(0)+1 = -1+1=0, \qquad g''(0)=0.
Ainda 0/0. Continuamos.

Passo 6

Terceira derivada:
  • Derivadas: f^{(3)}(x) = \sin(x), \qquad g^{(3)}(x) = 24x.
  • Avaliando em x=0: f^{(3)}(0)=\sin(0)=0, \qquad g^{(3)}(0)=0.
Ainda 0/0. Mais uma derivação.

Passo 7

Quarta derivada (a primeira que deve sair da indeterminação):
  • Derivadas: f^{(4)}(x) = \cos(x), \qquad g^{(4)}(x) = 24.
  • Agora avaliamos o limite usando a quarta derivada (pela aplicação repetida da Regra de L’Hôspital): \lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1+\dfrac{x^{2}}{2}}{x^{4}} = \lim_{x\to 0}\frac{f^{(4)}(x)}{g^{(4)}(x)} = \frac{f^{(4)}(0)}{g^{(4)}(0)}.
  • Substituindo: f^{(4)}(0)=\cos(0)=1, \qquad g^{(4)}(0)=24.
Portanto o limite vale \dfrac{1}{24}.
Observação (checagem rápida): usando série de Taylor de \cos(x)=1-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{24}+\cdots, o numerador fica \dfrac{x^{4}}{24}+ termos de ordem superior, e dividindo por x^{4} \dfrac{1}{24} — coerente com o resultado acima.

Resposta

\dfrac{1}{24}

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