Calcule os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hôspital, se aplicável. Verifique sempre a indeterminação antes de derivar.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o quociente
. - Pede calcular
.
Informações relevantes (valores em
que vamos verificar):
- Numerador em
: . - Denominador em
: .
Passo 2
Verificar indeterminação no ponto
:
- Calcular o numerador em
: - Calcular o denominador em
:
Logo a forma é
, que é uma indeterminação que permite considerar a Regra de L’Hôspital (desde que as funções sejam diferenciáveis nas vizinhanças necessárias — aqui são).
Passo 3
Breve explicação da Regra de L’Hôspital (forma prática que vamos usar):
- Se
dá ou e e são diferenciáveis numa vizinhança de (exceto possivelmente em ), então sempre que o limite do lado direito exista (ou seja ). - Pode-se aplicar a regra repetidamente: se após a primeira aplicação ainda obtiver
(ou ), deriva-se novamente numerador e denominador, e assim por diante, até sair da indeterminação.
Passo 4
Aplicar a primeira derivada (usando
e
):
- Derivadas:
- Avaliando o comportamento quando
:
Ainda temos a forma
, então aplicamos L’Hôspital novamente.
Passo 5
Segunda derivada:
- Derivadas:
- Avaliando em
:
Ainda
. Continuamos.
Passo 6
Terceira derivada:
- Derivadas:
- Avaliando em
:
Ainda
. Mais uma derivação.
Passo 7
Quarta derivada (a primeira que deve sair da indeterminação):
- Derivadas:
- Agora avaliamos o limite usando a quarta derivada (pela aplicação repetida da Regra de L’Hôspital):
- Substituindo:
Portanto o limite vale
.
Observação (checagem rápida): usando série de Taylor de
, o numerador fica
termos de ordem superior, e dividindo por
dá
— coerente com o resultado acima.