Calcule as seguintes tendências:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos o limite
Informações dadas e o que é pedido:
- A função é uma razão de polinômios: numerador
(grau ) e denominador (grau ). - Queremos o comportamento da função quando
cresce sem limite positivo ( ). - A pergunta é encontrar o valor desse limite (um número real, possivelmente
).
Passo 2
Ideia do método (sem ainda calcular): para limites de funções racionais quando
, o termo dominante em cada polinômio é o de maior grau. Aqui o termo dominante do denominador é
e do numerador é
. Em geral, se o grau do numerador for menor que o grau do denominador, a razão tende a
. Vou mostrar isso de forma rigorosa dividindo numerador e denominador pela maior potência de
presente no denominador, que é
.
Passo 3
Divido numerador e denominador por
. Isso é permitido para
e serve para reescrever a expressão em termos de potências decrescentes de
:
Passo 4
Simplifico cada fração dentro da expressão:
Agora observe os limites simples das partes que dependem de
:
-
. (Porque conforme cresce, fica cada vez menor e tende a zero.) -
. (Ainda mais rápido que .)
Logo,
Passo 5
Usando a propriedade de limites de quociente (quando o limite do denominador é diferente de zero, o limite do quociente é o quociente dos limites), obtemos
Intuição final: o denominador cresce como
enquanto o numerador cresce como
; o denominador cresce muito mais rápido, fazendo a razão ir para
.