Calcule as seguintes tendências:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x+1}{3 x^{2}+2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{3x^{2}+2x+1}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função é uma razão de polinômios: numerador 3x+1 (grau 1) e denominador 3x^{2}+2x+1 (grau 2).
  • Queremos o comportamento da função quando x cresce sem limite positivo ( x\to\infty).
  • A pergunta é encontrar o valor desse limite (um número real, possivelmente 0).

Passo 2

Ideia do método (sem ainda calcular): para limites de funções racionais quando x\to\infty, o termo dominante em cada polinômio é o de maior grau. Aqui o termo dominante do denominador é 3x^{2} e do numerador é 3x. Em geral, se o grau do numerador for menor que o grau do denominador, a razão tende a 0. Vou mostrar isso de forma rigorosa dividindo numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador, que é x^{2}.

Passo 3

Divido numerador e denominador por x^{2}. Isso é permitido para x\neq0 e serve para reescrever a expressão em termos de potências decrescentes de x:
\frac{3x+1}{3x^{2}+2x+1} = \frac{\dfrac{3x}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}}{\dfrac{3x^{2}}{x^{2}}+\dfrac{2x}{x^{2}}+\dfrac{1}{x^{2}}}.

Passo 4

Simplifico cada fração dentro da expressão:
\frac{3x+1}{3x^{2}+2x+1} = \frac{\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}{3+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}}.
Agora observe os limites simples das partes que dependem de x:
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0. (Porque conforme x cresce, 1/x fica cada vez menor e tende a zero.)
  • \displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0. (Ainda mais rápido que 1/x.)
    Logo,
\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to\infty}\left(3+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)=3.

Passo 5

Usando a propriedade de limites de quociente (quando o limite do denominador é diferente de zero, o limite do quociente é o quociente dos limites), obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{3x^{2}+2x+1} = \frac{0}{3}=0.
Intuição final: o denominador cresce como x^{2} enquanto o numerador cresce como x; o denominador cresce muito mais rápido, fazendo a razão ir para 0.

Resposta

0

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