Calcule as seguintes tendências:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+x+1}{x-2}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Pedido: calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+x+1}{x-2}.
  • O que é fornecido: uma função racional com numerador \,x^{2}+x+1, e denominador \,x-2.
  • Observações úteis (dados do enunciado): o numerador é um polinômio de grau 2 e o denominador é um polinômio de grau 1.

Passo 2

Estratégia básica (dividir termos de mesma ordem): para estudar limites quando x\to\infty é comum dividir numerador e denominador por uma mesma potência de x para ver o comportamento das parcelas pequenas. Aqui é suficiente dividir tudo por x (poderia dividir por x^2 também; explico depois). Aplicando divisão por x ao numerador e ao denominador obtemos:
\frac{x^{2}+x+1}{x-2} = \frac{\dfrac{x^{2}+x+1}{x}}{\dfrac{x-2}{x}} = \frac{x+1+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{2}{x}}.

Passo 3

Analisando os termos que aparecem depois da divisão: para x\to\infty vale
\dfrac{1}{x}\to 0,\qquad \dfrac{2}{x}\to 0.
Então, no numerador da fração transformada temos x+1+\dfrac{1}{x}, cuja parte dominante é x (pois 1 e \dfrac{1}{x} são pequenos perante x quando x é grande). No denominador temos 1-\dfrac{2}{x} que tende para 1. Portanto a expressão tende a comportar-se como algo do tipo \dfrac{\text{algo que cresce como }x}{1}, ou seja, cresce sem limite à medida que x cresce.

Passo 4

Comentário sobre sinal e rigor: para x grande e positivo (já que x\to\infty), o denominador x-2 é positivo e a parte dominante do numerador x^{2} também é positiva. Logo a razão é positiva e cresce sem limite. Em linguagem de limites: o numerador tende a +\infty enquanto o denominador tende a 1 (não nulo), então a razão tende a +\infty.

Passo 5

Verificação alternativa por divisão euclidiana (opcional, dá mesma conclusão): dividir o polinômio
x^{2}+x+1 = (x-2)\cdot (x+3) + 7,
ou seja
\frac{x^{2}+x+1}{x-2} = x+3+\frac{7}{x-2}.
Ao fazer x\to\infty tem-se x+3\to\infty e \dfrac{7}{x-2}\to 0, portanto o conjunto tende para +\infty — mesma conclusão.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados