Calcule as seguintes tendências:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Pedido: calcular
. - O que é fornecido: uma função racional com numerador
, e denominador . - Observações úteis (dados do enunciado): o numerador é um polinômio de grau
e o denominador é um polinômio de grau .
Passo 2
Estratégia básica (dividir termos de mesma ordem): para estudar limites quando
é comum dividir numerador e denominador por uma mesma potência de
para ver o comportamento das parcelas pequenas. Aqui é suficiente dividir tudo por
(poderia dividir por
também; explico depois). Aplicando divisão por
ao numerador e ao denominador obtemos:
Passo 3
Analisando os termos que aparecem depois da divisão: para
vale
Então, no numerador da fração transformada temos
, cuja parte dominante é
(pois
e
são pequenos perante
quando
é grande). No denominador temos
que tende para
. Portanto a expressão tende a comportar-se como algo do tipo
, ou seja, cresce sem limite à medida que
cresce.
Passo 4
Comentário sobre sinal e rigor: para
grande e positivo (já que
), o denominador
é positivo e a parte dominante do numerador
também é positiva. Logo a razão é positiva e cresce sem limite. Em linguagem de limites: o numerador tende a
enquanto o denominador tende a
(não nulo), então a razão tende a
.
Passo 5
Verificação alternativa por divisão euclidiana (opcional, dá mesma conclusão): dividir o polinômio
ou seja
Ao fazer
tem-se
e
, portanto o conjunto tende para
— mesma conclusão.