Classifique em verdadeira ou falsa:
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação
Informações dadas e observações imediatas:
- A integral é sobre o intervalo
. - A função integranda é
. - Note que
não está definida em ; a integral é, portanto, uma integral imprópria devido a uma singularidade no extremo esquerdo.
Passo 2
Definição de integral imprópria que vamos usar (explicando devagar): quando a função tem problema num extremo do intervalo (aqui em
), a integral
é definida como um limite
se esse limite existir (finito). Se o limite for
dizemos que a integral diverge para
. Aqui
, então aplicamos exatamente essa definição.
Passo 3
Calcular a integral no intervalo
com
. Primeiro lembrando uma antiderivada básica:
- A primitiva de
é . Ou seja, para ,
Agora, para
,
Como
, isso simplifica para
Passo 4
Agora aplicamos a definição de integral imprópria, tomando o limite quando
:
Explicando o comportamento de
quando
:
, logo
. Uma maneira concreta de ver isso: escolha
com
; então
, que cresce sem limite quando
. Portanto o limite é
.
Passo 5
Conclusão lógica: a integral imprópria
não converge para um número finito; ela diverge e seu valor é
. Assim a afirmação do enunciado é correta.
Resposta
Verdadeira