Classifique em verdadeira ou falsa:
\int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x=\infty

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeira ou falsa a afirmação
\int_{0}^{1}\frac{1}{x}\,dx=\infty.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A integral é sobre o intervalo [0,1].
  • A função integranda é \dfrac{1}{x}.
  • Note que \dfrac{1}{x} não está definida em x=0; a integral é, portanto, uma integral imprópria devido a uma singularidade no extremo esquerdo.

Passo 2

Definição de integral imprópria que vamos usar (explicando devagar): quando a função tem problema num extremo do intervalo (aqui em x=0), a integral \int_{0}^{1} f(x)\,dx é definida como um limite
\int_{0}^{1} f(x)\,dx := \lim_{a\to 0^{+}} \int_{a}^{1} f(x)\,dx,
se esse limite existir (finito). Se o limite for +\infty dizemos que a integral diverge para +\infty. Aqui f(x)=\dfrac{1}{x}, então aplicamos exatamente essa definição.

Passo 3

Calcular a integral no intervalo [a,1] com a>0. Primeiro lembrando uma antiderivada básica:
  • A primitiva de \dfrac{1}{x} é \ln|x|. Ou seja, para x>0,
\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\frac{1}{x}.
Agora, para a>0,
\int_{a}^{1}\frac{1}{x}\,dx = \bigl[\ln x\bigr]_{x=a}^{x=1} = \ln 1 - \ln a.
Como \ln 1 = 0, isso simplifica para
\int_{a}^{1}\frac{1}{x}\,dx = -\ln a.

Passo 4

Agora aplicamos a definição de integral imprópria, tomando o limite quando a\to 0^{+}:
\int_{0}^{1}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{a\to 0^{+}} (-\ln a).
Explicando o comportamento de \ln a quando a\to 0^{+}: \ln a\to -\infty, logo -\ln a\to +\infty. Uma maneira concreta de ver isso: escolha a=10^{-n} com n\to\infty; então -\ln a = -\ln(10^{-n}) = n\ln 10, que cresce sem limite quando n\to\infty. Portanto o limite é +\infty.

Passo 5

Conclusão lógica: a integral imprópria \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1}{x}\,dx não converge para um número finito; ela diverge e seu valor é +\infty. Assim a afirmação do enunciado é correta.

Resposta

Verdadeira

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