Calcule as seguintes tendências:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x^{3}-100 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a infinito da expressão
x^{3}-100x^{2}.
Informações dadas:
  • A função considerada é o polinômio x^{3}-100x^{2}.
  • O que se pede é \lim_{x\to\infty}\left(x^{3}-100x^{2}\right).

Passo 2

Observação qualitativa (sem resolver ainda): polinômios, para valores muito grandes de x, são dominados pelo termo de maior grau. Aqui o termo de maior grau é x^{3}. Mas vamos fazer isso de forma clara e rigorosa, passo a passo.

Passo 3

Fatoramos a expressão para evidenciar o termo dominante:
x^{3}-100x^{2}=x^{3}\!\left(1-\frac{100}{x}\right).
Explicando a fatoração: foi colocado x^{3} em evidência porque x^{3} é o maior grau; ao distribuí-lo obtemos x^{3}\cdot 1 = x^{3} e x^{3}\cdot\left(-\dfrac{100}{x}\right) = -100x^{2}, que reproduz a expressão original.

Passo 4

Analisamos os dois fatores quando x\to\infty:
  • O fator \displaystyle x^{3} tende para +\infty quando x\to\infty.
  • O fator \displaystyle 1-\dfrac{100}{x} tende para 1 quando x\to\infty, porque \displaystyle \frac{100}{x}\to 0.
Como o segundo fator tende a uma constante positiva ( 1) e o primeiro cresce sem limite, o produto também cresce sem limite positivo. Para tornar isso mais explícito, podemos usar uma estimativa: para x>200 vale \displaystyle 1-\frac{100}{x}\ge 1-\frac{100}{200}=0{,}5. Assim, para x>200,
x^{3}-100x^{2}=x^{3}\!\left(1-\frac{100}{x}\right)\ge 0{,}5\,x^{3}.
Como \displaystyle 0{,}5\,x^{3}\to +\infty quando x\to\infty, segue que \displaystyle x^{3}-100x^{2}\to +\infty.

Passo 5

Regra geral e exemplos rápidos para memorizar:
  • Para um polinômio, o comportamento quando x\to\infty é determinado pelo termo de maior grau.
  • Se o coeficiente do termo de maior grau for positivo, o polinômio tende a +\infty; se for negativo, tende a -\infty (quando o grau for ímpar; para grau par o sinal do coeficiente dá o sentido em ambos os lados).
    Exemplo: \lim_{x\to\infty}(x^{3}+2x)=+\infty porque o termo x^{3} domina; \lim_{x\to\infty}(-5x^{4}+x)= -\infty porque o termo dominante tem coeficiente negativo e grau par (o valor absoluto cresce sem limite).

Resposta

+\infty

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