Calcule as seguintes tendências:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a infinito da expressão
Informações dadas:
- A função considerada é o polinômio
. - O que se pede é
.
Passo 2
Observação qualitativa (sem resolver ainda): polinômios, para valores muito grandes de
, são dominados pelo termo de maior grau. Aqui o termo de maior grau é
. Mas vamos fazer isso de forma clara e rigorosa, passo a passo.
Passo 3
Fatoramos a expressão para evidenciar o termo dominante:
Explicando a fatoração: foi colocado
em evidência porque
é o maior grau; ao distribuí-lo obtemos
e
, que reproduz a expressão original.
Passo 4
Analisamos os dois fatores quando
:
- O fator
tende para quando . - O fator
tende para quando , porque .
Como o segundo fator tende a uma constante positiva (
) e o primeiro cresce sem limite, o produto também cresce sem limite positivo. Para tornar isso mais explícito, podemos usar uma estimativa: para
vale
. Assim, para
,
Como
quando
, segue que
.
Passo 5
Regra geral e exemplos rápidos para memorizar:
- Para um polinômio, o comportamento quando
é determinado pelo termo de maior grau. - Se o coeficiente do termo de maior grau for positivo, o polinômio tende a
; se for negativo, tende a (quando o grau for ímpar; para grau par o sinal do coeficiente dá o sentido em ambos os lados).
Exemplo:porque o termo domina; porque o termo dominante tem coeficiente negativo e grau par (o valor absoluto cresce sem limite).