Calcule as seguintes tendências:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x^{4}-100 x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a +\infty da função x^{4}-100x^{3}.
Informações dadas:
  • A função é o polinômio x^{4}-100x^{3}.
  • Queremos \lim_{x\to\infty}\left(x^{4}-100x^{3}\right).

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): limite de polinômios em +\infty.
Para um polinômio, o comportamento quando x\to\infty é dominado pelo termo de maior grau (termo líder). Aqui o termo de maior grau é x^{4}. Em palavras, para x muito grande os termos de menor grau (como x^{3}, x^{2}, etc.) são relativamente pequenos comparados a x^{4}.

Passo 3

Vamos manipular algebricamente a expressão para evidenciar o termo dominante. Factorizando:
x^{4}-100x^{3}=x^{3}(x-100).
Essa fatoração é obtida colocando x^{3} em evidência: x^{3}\cdot x = x^{4} e x^{3}\cdot 100 = 100x^{3}.

Passo 4

Análise do sinal e crescimento para x grande. Para x>100 temos:
  • x^{3}>0,
  • x-100>0,
    logo x^{3}(x-100)>0. Além disso, ambos os fatores crescem sem limite quando x\to\infty: x^{3}\to\infty e x-100\to\infty. O produto de duas quantidades que tendem a +\infty é +\infty. Portanto a expressão cresce sem limite para +\infty.

Passo 5

Outra forma (com mais formalidade): escrevendo em termos do termo líder,
x^{4}-100x^{3}=x^{4}\!\left(1-\frac{100}{x}\right).
Quando x\to\infty temos \dfrac{100}{x}\to 0, então 1-\dfrac{100}{x}\to 1. Como x^{4}\to\infty e o fator que multiplica tende a 1 (não zero), o produto tende a +\infty.

Resposta

\infty

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