Calcule as seguintes tendências:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^{3}+100 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a -\infty da expressão
x^{3}+100x^{2}.
Informações dadas:
  • A expressão a avaliar é x^{3}+100x^{2}.
  • O ponto para o qual x se aproxima é -\infty.

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: fatorar um fator comum para ver a estrutura da expressão. Temos
x^{3}+100x^{2}=x^{2}\,(x+100).
Aqui x^{2} e x+100 são os dois fatores que vamos analisar separadamente quando x\to -\infty.

Passo 3

Analisar o comportamento de cada fator quando x\to -\infty.
  • Para x^{2}: se x\to -\infty, então |x|\to +\infty e, ao elevar ao quadrado, tem-se
x^{2}\to +\infty.
Isto porque o quadrado de um número com módulo crescente também cresce para +\infty.
  • Para x+100: quando x\to -\infty a soma com a constante 100 continua tendendo a -\infty, isto é,
x+100\to -\infty.
Porque adicionar uma constante não muda a tendência de divergir para -\infty.

Passo 4

Combinar os comportamentos dos fatores para concluir sobre o produto x^{2}\,(x+100).
  • O fator x^{2} cresce para +\infty em módulo e é positivo.
  • O fator x+100 cresce em módulo mas é negativo para x suficientemente negativo.
    Portanto o produto é o produto de um fator positivo que tende a +\infty por outro fator que tende a -\infty. Assim o módulo do produto cresce sem limite e o sinal é negativo para x muito negativo.

Passo 5

Conclusão lógica: a expressão x^{3}+100x^{2} diverge em módulo e tem sinal negativo quando x\to -\infty. Logo o limite é um divergente para menos infinito.

Resposta

-\infty

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