Calcule as seguintes tendências:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(x^{4}+100 x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor da tendência
\lim_{x\to-\infty}\left(x^{4}+100x^{3}\right).
Informações dadas:
  • A expressão cujo limite deve ser calculado é x^{4}+100x^{3}.
  • A variável x tende para -\infty (ou seja, valores muito negativos de x).

Passo 2

Observação útil (ideia principal): para polinômios o comportamento quando |x| é muito grande é dominado pelo termo de maior grau. Aqui o termo de maior grau é x^{4} (grau 4), enquanto 100x^{3} tem grau 3. Vamos usar essa ideia de forma rigorosa e também fazer um fatoramento para ver direitinho.

Passo 3

Fatoremos por x^{4} (isso ajuda a ver o comportamento relativo dos termos):
x^{4}+100x^{3}=x^{4}\left(1+\frac{100}{x}\right).
Explicando cada parte: x^{4} é o fator comum e \dfrac{100}{x} é o quociente de 100x^{3} por x^{4}.

Passo 4

Analise os dois fatores quando x\to-\infty:
  • O fator x^{4} é sempre não negativo; para x grande em módulo (positivo ou negativo) tem x^{4}\to+\infty.
  • O fator \displaystyle 1+\frac{100}{x} tende a 1, porque
\lim_{x\to-\infty}\frac{100}{x}=0,
logo
\lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{100}{x}\right)=1.

Passo 5

Agora combine os limites: temos um fator que tende para +\infty multiplicado por um fator que tende para 1 (número finito e não nulo). Isso implica que o produto tende para +\infty. Intuitivamente: x^{4} cresce sem limite e o outro fator fica próximo de 1, então o produto também cresce sem limite positivo.

Passo 6

Verificação alternativa (sinal): para x\to-\infty o termo x^{3} é negativo e x+100 também é negativo (para |x| grande), então ao escrever
x^{4}+100x^{3}=x^{3}(x+100)
temos produto de dois termos negativos, resultando em um valor positivo cujo módulo cresce como |x|^{4}. Isso confirma que o limite é +\infty.

Resposta

+\infty

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