Mostre que o polinômio
possui um valor de máximo local e esboce o seu gráfico.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede duas coisas:
- Mostrar que existe um valor de máximo local para
. - Esboçar o gráfico de
.
Informações relevantes extraídas do enunciado (sem resolver ainda):
-
é um polinômio de grau (produto de um quadrado por um termo linear). - Zeros visíveis da função:
(com multiplicidade , pois aparece como ) e (multiplicidade ). - O comportamento de extremos e de variação pode ser analisado a partir da derivada
e da derivada segunda .
Passo 2
Vamos calcular
. Para isso uso a regra do produto: se
e
são funções, então
Aqui tomo
e
. Calculo as derivadas parciais:
Aplicando a regra do produto:
Agora fatoro
para simplificar:
Finalmente escrevo:
(Verificação rápida: expandindo
obtém-se de fato um polinômio cúbico compatível com
.)
Passo 3
Encontrar pontos críticos: são os
onde
(ou onde
não existe, o que não ocorre aqui).
Resolvo
Resolvo
Portanto os pontos críticos são
e
.
Explicação do que isso significa: pontos críticos são candidatos a máximos, mínimos ou pontos de platô; para decidir qual é cada um precisamos classificar.
Passo 4
Classificação usando a derivada segunda. Primeiro calculo
. Derivo
usando produto (ou diretamente expandindo):
Melhor cálculo direto:
Logo
A regra da derivada segunda diz: se
então
tem um máximo local em
; se
tem mínimo local; se
o teste é inconclusivo.
Avalio em
:
portanto
tem um máximo local em
.
Avalio em
:
portanto
tem um mínimo local em
.
Concluímos formalmente que existe um máximo local em
.
Passo 5
Calculo os valores da função nesses pontos para saber as coordenadas dos extremos:
Portanto o máximo local é o ponto
e o mínimo local é
.
Observações sobre as raízes: como
tem multiplicidade par, a curva “toca” o eixo
em
sem atravessá-lo (pois é raiz de multiplicidade
). Em
(multiplicidade
) a curva atravessa o eixo.
Passo 6
Verificação por análise do sinal de
(confirma a classificação e dá o comportamento monotônico):
- Para
: e ⇒ produto . Assim é crescente em . - Para
: , ⇒ produto . Assim é decrescente em . - Para
: ambos positivos ⇒ produto . Assim é crescente em .
Isso confirma: sobe até
, desce até
, e sobe novamente — logo
é um máximo local.
Passo 7
Comportamento nas extremidades e ponto de inflexão:
- Como
é um polinômio cúbico com coeficiente líder positivo ( com coeficiente ao expandir), tem comportamento
- Ponto de inflexão onde
é . Avaliando em :
Assim existe um ponto de inflexão em
, onde a concavidade muda de côncava para convexa (pois
muda de negativo para positivo em
).
Passo 8
Esboço do gráfico (descrição passo a passo para desenhar):
- Marque os pontos importantes: raiz dupla
(toque no eixo), ponto de inflexão , mínimo local , raiz simples . - Para
a curva vem de , sobe e chega crescendo até tocar o eixo em (aqui tem o máximo local, valor ), depois desce passando por (inflection) até atingir o mínimo em , em seguida sobe, cruza o eixo em e continua para . - A curva não cruza o eixo em
(multiplicidade par), mas cruza em (multiplicidade ímpar). Entre e os valores de são negativos (por exemplo , ).
Com essas informações dá para traçar um esboço qualitativo correto: subida até
(máx local), descida até
(mín local), e subida para
, cruzando em
.
Resposta
Máximo local em
com valor
.
Esboço: curva crescente para que toca o eixo em
(máx local), desce passando por ponto de inflexão
até o mínimo
, depois sobe, cruza o eixo em
e vai para
.
Esboço: curva crescente para