Mostre que o polinômio p(x)=(x-1)^{2}(x-4) possui um valor de máximo local e esboce o seu gráfico.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio p(x)=(x-1)^{2}(x-4) e pede duas coisas:
  • Mostrar que existe um valor de máximo local para p.
  • Esboçar o gráfico de p.
Informações relevantes extraídas do enunciado (sem resolver ainda):
  • p é um polinômio de grau 3 (produto de um quadrado por um termo linear).
  • Zeros visíveis da função: x=1 (com multiplicidade 2, pois aparece como (x-1)^2) e x=4 (multiplicidade 1).
  • O comportamento de extremos e de variação pode ser analisado a partir da derivada p'(x) e da derivada segunda p''(x).

Passo 2

Vamos calcular p'(x). Para isso uso a regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
(uv)' = u'v + uv'.
Aqui tomo u(x)=(x-1)^2 e v(x)=(x-4). Calculo as derivadas parciais:
u'(x)=2(x-1),\qquad v'(x)=1.
Aplicando a regra do produto:
p'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)^2.
Agora fatoro x-1 para simplificar:
p'(x)=(x-1)\big(2(x-4)+(x-1)\big)=(x-1)\big(3x-9\big).
Finalmente escrevo:
p'(x)=3(x-1)(x-3).
(Verificação rápida: expandindo 3(x-1)(x-3) obtém-se de fato um polinômio cúbico compatível com p.)

Passo 3

Encontrar pontos críticos: são os x onde p'(x)=0 (ou onde p' não existe, o que não ocorre aqui).
Resolvo
3(x-1)(x-3)=0 \quad\Rightarrow\quad x=1\quad\text{ou}\quad x=3.
Portanto os pontos críticos são x=1 e x=3.
Explicação do que isso significa: pontos críticos são candidatos a máximos, mínimos ou pontos de platô; para decidir qual é cada um precisamos classificar.

Passo 4

Classificação usando a derivada segunda. Primeiro calculo p''(x). Derivo p'(x)=3(x-1)(x-3) usando produto (ou diretamente expandindo):
p''(x)=3\big((x-1)'+(x-3)'\big)\cdot\frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x-3)}\\ \text{(mais simples: derivando diretamente)}.
Melhor cálculo direto:
p''(x)=3\big((x-1)'\!(x-3)+(x-1)(x-3)'\big)=3\big(1\cdot(x-3)+(x-1)\cdot1\big)=3(2x-4).
Logo
p''(x)=6(x-2).
A regra da derivada segunda diz: se p''\text{(c)}<0 então p tem um máximo local em x=c; se p''\text{(c)}>0 tem mínimo local; se p''\text{(c)}=0 o teste é inconclusivo.
Avalio em x=1:
p''(1)=6(1-2)=6(-1)=-6<0,
portanto p tem um máximo local em x=1.
Avalio em x=3:
p''(3)=6(3-2)=6>0,
portanto p tem um mínimo local em x=3.
Concluímos formalmente que existe um máximo local em x=1.

Passo 5

Calculo os valores da função nesses pontos para saber as coordenadas dos extremos:
p(1)=(1-1)^2(1-4)=0\cdot(-3)=0.
p(3)=(3-1)^2(3-4)=2^2\cdot(-1)=4\cdot(-1)=-4.
Portanto o máximo local é o ponto (1,0) e o mínimo local é (3,-4).
Observações sobre as raízes: como (x-1)^2 tem multiplicidade par, a curva “toca” o eixo x em x=1 sem atravessá-lo (pois é raiz de multiplicidade 2). Em x=4 (multiplicidade 1) a curva atravessa o eixo.

Passo 6

Verificação por análise do sinal de p'(x) (confirma a classificação e dá o comportamento monotônico):
p'(x)=3(x-1)(x-3).
  • Para x<1: (x-1)<0 e (x-3)<0 ⇒ produto >0. Assim p é crescente em (-\infty,1).
  • Para 1<x<3: (x-1)>0, (x-3)<0 ⇒ produto <0. Assim p é decrescente em (1,3).
  • Para x>3: ambos positivos ⇒ produto >0. Assim p é crescente em (3,\infty).
Isso confirma: sobe até x=1, desce até x=3, e sobe novamente — logo x=1 é um máximo local.

Passo 7

Comportamento nas extremidades e ponto de inflexão:
  • Como p é um polinômio cúbico com coeficiente líder positivo ( x^3 com coeficiente 1 ao expandir), tem comportamento
\lim_{x\to\infty}p(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}p(x)=-\infty.
  • Ponto de inflexão onde p''(x)=0 é x=2. Avaliando p em 2:
p(2)=(2-1)^2(2-4)=1^2\cdot(-2)=-2.
Assim existe um ponto de inflexão em (2,-2), onde a concavidade muda de côncava para convexa (pois p''(x)=6(x-2) muda de negativo para positivo em x=2).

Passo 8

Esboço do gráfico (descrição passo a passo para desenhar):
  • Marque os pontos importantes: raiz dupla (1,0) (toque no eixo), ponto de inflexão (2,-2), mínimo local (3,-4), raiz simples (4,0).
  • Para x\ll0 a curva vem de -\infty, sobe e chega crescendo até tocar o eixo em (1,0) (aqui tem o máximo local, valor 0), depois desce passando por (2,-2) (inflection) até atingir o mínimo em (3,-4), em seguida sobe, cruza o eixo em (4,0) e continua para +\infty.
  • A curva não cruza o eixo em x=1 (multiplicidade par), mas cruza em x=4 (multiplicidade ímpar). Entre 1 e 4 os valores de p são negativos (por exemplo p(2)=-2, p(3)=-4).
Com essas informações dá para traçar um esboço qualitativo correto: subida até (1,0) (máx local), descida até (3,-4) (mín local), e subida para +\infty, cruzando em (4,0).

Resposta

Máximo local em x=1 com valor p(1)=0.
Esboço: curva crescente para x<1 que toca o eixo em (1,0) (máx local), desce passando por ponto de inflexão (2,-2) até o mínimo (3,-4), depois sobe, cruza o eixo em (4,0) e vai para +\infty.

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