Prove que 4 \operatorname{sen} x \cdot \operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cdot \operatorname{sen}\left(x+\frac{2 \pi}{3}\right)=\operatorname{sen} 3 x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
4\,\sin x\;\sin\bigl(x+\tfrac{\pi}{3}\bigr)\;\sin\bigl(x+\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=\sin(3x).
O conteúdo principal aqui são identidades trigonométricas de soma de ângulos e produto de senos.

Passo 2

Usamos a propriedade \sin(\theta+\pi)=-\sin\theta. Como
x+\tfrac{2\pi}{3}=x+\pi-\tfrac{\pi}{3},
temos
\sin\bigl(x+\tfrac{2\pi}{3}\bigr) =\sin\bigl(x+\pi-\tfrac{\pi}{3}\bigr) =-\sin\bigl(x-\tfrac{\pi}{3}\bigr).
Logo o produto original vira
4\,\sin x\;\sin\bigl(x+\tfrac{\pi}{3}\bigr)\;\sin\bigl(x+\tfrac{2\pi}{3}\bigr) =-4\,\sin x\;\sin\bigl(x+\tfrac{\pi}{3}\bigr)\;\sin\bigl(x-\tfrac{\pi}{3}\bigr).

Passo 3

Aplicamos a identidade de produto de senos:
\sin\bigl(x+\tfrac{\pi}{3}\bigr)\,\sin\bigl(x-\tfrac{\pi}{3}\bigr) =\sin^2 x-\sin^2\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) =\sin^2 x-\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Bigr)^2 =\sin^2 x-\tfrac{3}{4}.
Substituindo em cima, obtemos
-4\,\sin x\,\bigl(\sin^2 x-\tfrac{3}{4}\bigr) =-4\,\sin^3 x+3\,\sin x.

Passo 4

Reconhecemos a fórmula do seno de triplo ângulo:
\sin(3x)=3\,\sin x-4\,\sin^3 x.
Portanto
-4\,\sin^3 x+3\,\sin x =3\,\sin x-4\,\sin^3 x =\sin(3x).

Resposta

Foi demonstrado que
4\,\sin x\;\sin\bigl(x+\tfrac{\pi}{3}\bigr)\;\sin\bigl(x+\tfrac{2\pi}{3}\bigr)=\sin(3x).

Exercícios relacionados