Calcule as sequintes integrais triplas: \iiint_{B} d x d y d z, onde \left(B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 a z(a>0)\right\}\right).
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e o que nos é dado. Precisamos calcular a integral tripla
Pergunta do enunciado: qual é o valor da integral (isto é, o volume) da região B?\n
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{(i)}\quad z\geqslant \sqrt{x^2+y^2}\quad\text{(a região está acima do cone de meia-ângulo \(45^\circ\))},\\ &\text{(ii)}\quad x^2+y^2+z^2\leqslant 2a z\quad\text{(uma desigualdade que é equação de esfera deslocada)}. \end{aligned}
Passo 2
Interpretação geométrica das condições (importante para escolher coordenadas):
Primeiro, a desigualdade da esfera pode ser reescrita completando o quadrado em z:
Logo, a segunda condição descreve a esfera de centro (0,0,a) e raio a. Essa esfera é tangente à origem (0,0,0).\n
A primeira condição z\geqslant \sqrt{x^2+y^2} é o cone com eixo z que faz 45^\circ com o eixo z. Em coordenadas esféricas isso corresponde a um ângulo polar fixo (vamos ver isso em seguida). Portanto B é a interseção da parte da esfera que está acima desse cone.
Passo 3
Escolha de coordenadas e explicação didática das coordenadas esféricas:
Usamos coordenadas esféricas centradas na origem porque o cone tem uma expressão simples nelas. Em coordenadas esféricas usamos
onde \rho\geqslant 0 é a distância à origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (medido a partir do eixo positivo z) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.\n
Importante: o elemento de volume em esféricas é
Explicação curta do Jacobiano: a expressão \rho^{2}\sin\varphi aparece porque a pequena caixa esférica tem dimensões aproximadas \Delta\rho, \rho\Delta\varphi e \rho\sin\varphi\Delta\theta, e o volume é o produto dessas três dimensões.
Passo 4
Expressar as restrições de B em esféricas e determinar os limites de integração:
pois \rho\geqslant 0 e \cos\varphi\geqslant 0 para \varphi\in[0,\pi/2]. Aqui \varphi\leqslant\frac{\pi}{4}\leqslant\frac{\pi}{2}, então tudo consistente.\n
Portanto os limites são:
Fazer a integração em \theta e \varphi:
A integral em \theta é \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi. Logo
\iiint_{B} dV = 2\pi \cdot \frac{8}{3}a^{3} \int_{0}^{\pi/4} \cos^{3}\varphi \sin\varphi\, d\varphi.
Agora calcule a integral em \varphi. Use a substituição u=\cos\varphi, então du=-\sin\varphi\, d\varphi. Quando \varphi=0 temos u=1 e quando \varphi=\pi/4 temos u=\frac{1}{\sqrt{2}}. Assim
\iiint_{B} dV = 2\pi \cdot \frac{1}{2}\, a^{3} = \pi a^{3}.
Um resultado agradável e simples: o volume da região B é \pi a^{3}.\n
Força aí — essa é a técnica padrão: reconhecer a geometria, escolher coordenadas naturais (aqui esféricas), passar as limites e integrar na ordem conveniente.