Calcule as sequintes integrais triplas:
\iiint_{B} d x d y d z, onde \left(B=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid z \geqslant \sqrt{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 2 a z(a>0)\right\}\right).

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado pede e o que nos é dado. Precisamos calcular a integral tripla
\iiint_{B} d x\, d y\, d z
onde B é o conjunto
B=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid z\geqslant \sqrt{x^2+y^2},\; x^2+y^2+z^2\leqslant 2a z,\; a>0\}.
Pergunta do enunciado: qual é o valor da integral (isto é, o volume) da região B?\n
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{(i)}\quad z\geqslant \sqrt{x^2+y^2}\quad\text{(a região está acima do cone de meia-ângulo \(45^\circ\))},\\ &\text{(ii)}\quad x^2+y^2+z^2\leqslant 2a z\quad\text{(uma desigualdade que é equação de esfera deslocada)}. \end{aligned}ãáâéçã

Passo 2

Interpretação geométrica das condições (importante para escolher coordenadas):
Primeiro, a desigualdade da esfera pode ser reescrita completando o quadrado em z:
x^2+y^2+z^2-2a z \leqslant 0
\Longleftrightarrow x^2+y^2+(z-a)^2 \leqslant a^2.
Logo, a segunda condição descreve a esfera de centro (0,0,a) e raio a. Essa esfera é tangente à origem (0,0,0).\n
A primeira condição z\geqslant \sqrt{x^2+y^2} é o cone com eixo z que faz 45^\circ com o eixo z. Em coordenadas esféricas isso corresponde a um ângulo polar fixo (vamos ver isso em seguida). Portanto B é a interseção da parte da esfera que está acima desse cone.

Passo 3

Escolha de coordenadas e explicação didática das coordenadas esféricas:
Usamos coordenadas esféricas centradas na origem porque o cone tem uma expressão simples nelas. Em coordenadas esféricas usamos
\begin{aligned} x&=\rho\sin\varphi\cos\theta,\\\ y&=\rho\sin\varphi\sin\theta,\\\ z&=\rho\cos\varphi, \end{aligned}
onde \rho\geqslant 0 é a distância à origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (medido a partir do eixo positivo z) e \theta\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.\n
Importante: o elemento de volume em esféricas é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Explicação curta do Jacobiano: a expressão \rho^{2}\sin\varphi aparece porque a pequena caixa esférica tem dimensões aproximadas \Delta\rho, \rho\Delta\varphi e \rho\sin\varphi\Delta\theta, e o volume é o produto dessas três dimensões.

Passo 4

Expressar as restrições de B em esféricas e determinar os limites de integração:
  • O cone z=\sqrt{x^2+y^2} em esféricas é
\rho\cos\varphi=\rho\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \cos\varphi=\sin\varphi \quad\Longrightarrow\quad \varphi=\frac{\pi}{4}.
A condição z\geqslant \sqrt{x^2+y^2} significa \varphi\leqslant \frac{\pi}{4} (ângulos menores ficam mais próximos ao eixo z).\n
  • A esfera x^2+y^2+z^2\leqslant 2a z em esféricas vira
\rho^{2}\leqslant 2a(\rho\cos\varphi)\quad\Longrightarrow\quad \rho\leqslant 2a\cos\varphi,
pois \rho\geqslant 0 e \cos\varphi\geqslant 0 para \varphi\in[0,\pi/2]. Aqui \varphi\leqslant\frac{\pi}{4}\leqslant\frac{\pi}{2}, então tudo consistente.\n
Portanto os limites são:
\theta\in[0,2\pi],\quad \varphi\in\left[0,\frac{\pi}{4}\right],\quad \rho\in\left[0,\,2a\cos\varphi\right].

Passo 5

Montar a integral do volume em esféricas:
\iiint_{B} dV = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/4}\!\int_{0}^{2a\cos\varphi} \rho^{2}\sin\varphi\, d\rho\, d\varphi\, d\theta.
Primeiro integramos em \rho. Calcule
\int_{0}^{2a\cos\varphi} \rho^{2}\, d\rho = \left.\frac{\rho^{3}}{3}\right|_{0}^{2a\cos\varphi} = \frac{(2a\cos\varphi)^{3}}{3} = \frac{8}{3}a^{3}\cos^{3}\varphi.
Assim a integral reduz para
\int_{0}^{2\pi} d\theta \;\times\; \int_{0}^{\pi/4} \frac{8}{3}a^{3}\cos^{3}\varphi\sin\varphi\, d\varphi.

Passo 6

Fazer a integração em \theta e \varphi:
A integral em \theta é \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi. Logo
\iiint_{B} dV = 2\pi \cdot \frac{8}{3}a^{3} \int_{0}^{\pi/4} \cos^{3}\varphi \sin\varphi\, d\varphi.
Agora calcule a integral em \varphi. Use a substituição u=\cos\varphi, então du=-\sin\varphi\, d\varphi. Quando \varphi=0 temos u=1 e quando \varphi=\pi/4 temos u=\frac{1}{\sqrt{2}}. Assim
\int_{0}^{\pi/4} \cos^{3}\varphi \sin\varphi\, d\varphi = \int_{1}^{1/\sqrt{2}} u^{3}(-du) = \int_{1/\sqrt{2}}^{1} u^{3}\, du.
Calcule a integral de u^{3}:
\int_{1/\sqrt{2}}^{1} u^{3}\, du = \left.\frac{u^{4}}{4}\right|_{1/\sqrt{2}}^{1} = \frac{1}{4}\left(1 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4}\right).
Note que \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{4}=\dfrac{1}{4}. Portanto
\int_{0}^{\pi/4} \cos^{3}\varphi \sin\varphi\, d\varphi = \frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{16}.

Passo 7

Juntar tudo e simplificar:
Voltando para a expressão do volume,
\iiint_{B} dV = 2\pi \cdot \frac{8}{3}a^{3} \cdot \frac{3}{16}.
Simplificando os fatores:
\frac{8}{3}\cdot\frac{3}{16} = \frac{8}{16}=\frac{1}{2},
logo
\iiint_{B} dV = 2\pi \cdot \frac{1}{2}\, a^{3} = \pi a^{3}.
Um resultado agradável e simples: o volume da região B é \pi a^{3}.\n
Força aí — essa é a técnica padrão: reconhecer a geometria, escolher coordenadas naturais (aqui esféricas), passar as limites e integrar na ordem conveniente.

Resposta

\pi a^{3}

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