Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região \mathbb{R} e tem função densidade de massa \delta. R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,-1 \leqslant y \leqslant 1\right\}, \delta(x, y)=x y
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a massa da lâmina e o centro de massa da lâmina. As informações dadas são:
Ou seja: a lâmina ocupa o retângulo com x entre 0 e 2 e y entre -1 e 1, e a densidade em cada ponto (x,y) é \delta(x,y)=x y. A tarefa é calcular (1) a massa total M da lâmina e (2) as coordenadas do centro de massa (\bar{x},\bar{y}).
Passo 2
Definição e cálculo da massa. A massa total M de uma lâmina com densidade \delta(x,y) sobre uma região R é dada por
M=\iint_{R}\delta(x,y)\,dA.
Aqui vamos calcular essa integral trocando a ordem com Fubini (região é um retângulo, então é direto). Escrevendo a integral como iterada:
M=\int_{x=0}^{2}\int_{y=-1}^{1} x\,y\;dy\;dx.
Antes de integrar, faço uma observação útil (que facilita muito): a função y é ímpar em relação a y (isto é, y=-(-y)), e estamos integrando \,y no intervalo simétrico [-1,1]. Uma propriedade básica de integrais diz que a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero:
\int_{-1}^{1} y\,dy = 0.
Como o integrando é x\cdot y e x é tratado como constante ao integrar em y, temos
Conclusão: a massa total da lâmina é M=0. (Interpretação física rápida: a densidade é positiva para y>0 e negativa para y<0, e as contribuições positivas e negativas se cancelam perfeitamente.)
Passo 3
Fórmula do centro de massa e observação sobre existência. As coordenadas do centro de massa são dadas por
Então os numeradores são: para \bar{x} é 0, para \bar{y} é \tfrac{4}{3}. Mas como vimos no Passo 2, M=0. Para obter \bar{x} e \bar{y} precisaríamos dividir esses numeradores por M. Divisão por zero não é permitida; portanto as coordenadas do centro de massa, definidas da maneira usual, não existem (são indeterminadas) quando M=0.
Interpretação final: a lâmina tem massa total zero porque a densidade positiva acima do eixo x cancela a densidade negativa abaixo do eixo x; por isso não é possível determinar um centro de massa único via as fórmulas usuais (seria uma divisão por zero). Note que o momento em x é zero (o que sugeriria \bar{x}=0 se M\neq0), mas o momento em y é diferente de zero, o que torna a divisão impossível e realça a indeterminação.
Resposta
M=0
O centro de massa não existe (indeterminado), pois a massa total é M=0 e as fórmulas \bar{x}=\dfrac{1}{M}\iint x\delta\,dA, \bar{y}=\dfrac{1}{M}\iint y\delta\,dA exigem divisão por M.