Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região \mathbb{R} e tem função densidade de massa \delta.
R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,-1 \leqslant y \leqslant 1\right\}, \delta(x, y)=x y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a massa da lâmina e o centro de massa da lâmina. As informações dadas são:
R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 0\le x\le 2,\;-1\le y\le 1\},
\delta(x,y)=x\,y.
Ou seja: a lâmina ocupa o retângulo com x entre 0 e 2 e y entre -1 e 1, e a densidade em cada ponto (x,y) é \delta(x,y)=x y. A tarefa é calcular (1) a massa total M da lâmina e (2) as coordenadas do centro de massa (\bar{x},\bar{y}).

Passo 2

Definição e cálculo da massa. A massa total M de uma lâmina com densidade \delta(x,y) sobre uma região R é dada por
M=\iint_{R}\delta(x,y)\,dA.
Aqui vamos calcular essa integral trocando a ordem com Fubini (região é um retângulo, então é direto). Escrevendo a integral como iterada:
M=\int_{x=0}^{2}\int_{y=-1}^{1} x\,y\;dy\;dx.
Antes de integrar, faço uma observação útil (que facilita muito): a função y é ímpar em relação a y (isto é, y=-(-y)), e estamos integrando \,y no intervalo simétrico [-1,1]. Uma propriedade básica de integrais diz que a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero:
\int_{-1}^{1} y\,dy = 0.
Como o integrando é x\cdot y e x é tratado como constante ao integrar em y, temos
\int_{y=-1}^{1} x\,y\;dy = x\int_{-1}^{1} y\;dy = x\cdot 0 = 0.
Portanto a integral externa também será zero:
M=\int_{x=0}^{2} 0\;dx = 0.
Conclusão: a massa total da lâmina é M=0. (Interpretação física rápida: a densidade é positiva para y>0 e negativa para y<0, e as contribuições positivas e negativas se cancelam perfeitamente.)

Passo 3

Fórmula do centro de massa e observação sobre existência. As coordenadas do centro de massa são dadas por
\bar{x}=\frac{1}{M}\iint_{R} x\,\delta(x,y)\,dA, \qquad \bar{y}=\frac{1}{M}\iint_{R} y\,\delta(x,y)\,dA,
desde que M\neq 0. Aqui devo calcular os numeradores (os momentos) e avaliar se faz sentido dividir por M.
Calculo do numerador para \bar{x}:
\iint_{R} x\,\delta(x,y)\,dA = \iint_{R} x\cdot (x y)\,dA = \iint_{R} x^{2}y\;dA.
Escrevendo como integral iterada:
\iint_{R} x^{2}y\;dA = \int_{x=0}^{2}\int_{y=-1}^{1} x^{2}y\;dy\;dx.
Novamente, para cada x fixo x^{2} é constante e \int_{-1}^{1} y\,dy=0, logo
\int_{y=-1}^{1} x^{2}y\;dy = x^{2}\int_{-1}^{1} y\;dy = x^{2}\cdot 0 = 0,
e portanto
\iint_{R} x\,\delta(x,y)\,dA = 0.
Calculo do numerador para \bar{y}:
\iint_{R} y\,\delta(x,y)\,dA = \iint_{R} y\cdot (x y)\,dA = \iint_{R} x\,y^{2}\;dA.
Como x e y separam (produto de função só de x por função só de y), posso escrever
\iint_{R} x\,y^{2}\;dA = \left(\int_{x=0}^{2} x\;dx\right)\left(\int_{y=-1}^{1} y^{2}\;dy\right).
Calculo cada uma:
\int_{x=0}^{2} x\;dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{2} = \frac{4}{2}=2,
\int_{y=-1}^{1} y^{2}\;dy = 2\int_{0}^{1} y^{2}\;dy = 2\cdot\left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = 2\cdot\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.
Multiplicando,
\iint_{R} x\,y^{2}\;dA = 2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.
Então os numeradores são: para \bar{x} é 0, para \bar{y} é \tfrac{4}{3}. Mas como vimos no Passo 2, M=0. Para obter \bar{x} e \bar{y} precisaríamos dividir esses numeradores por M. Divisão por zero não é permitida; portanto as coordenadas do centro de massa, definidas da maneira usual, não existem (são indeterminadas) quando M=0.
Interpretação final: a lâmina tem massa total zero porque a densidade positiva acima do eixo x cancela a densidade negativa abaixo do eixo x; por isso não é possível determinar um centro de massa único via as fórmulas usuais (seria uma divisão por zero). Note que o momento em x é zero (o que sugeriria \bar{x}=0 se M\neq0), mas o momento em y é diferente de zero, o que torna a divisão impossível e realça a indeterminação.

Resposta

M=0
O centro de massa não existe (indeterminado), pois a massa total é M=0 e as fórmulas \bar{x}=\dfrac{1}{M}\iint x\delta\,dA, \bar{y}=\dfrac{1}{M}\iint y\delta\,dA exigem divisão por M.

Exercícios relacionados