Resolva as integrais abaixo:
\int \frac{2-x}{(x+2)(x-4)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida)
\int \frac{2-x}{(x+2)(x-4)}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{numerador} = 2-x, \qquad \text{denominador} = (x+2)(x-4),
o denominador é o produto de dois fatores lineares distintos: (x+2) e (x-4). A integral é sobre uma função racional cujos fatores do denominador são lineares.

Passo 2

Escolha do método: como o grau do numerador (grau 0 ou 1) é menor que o grau do denominador (grau 2) e o denominador fatorou em fatores lineares distintos, a forma mais direta é decompor a função em frações parciais do tipo
\frac{2-x}{(x+2)(x-4)}=\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x-4},
com constantes A e B. Isso transforma a integral em somas de integrais de função do tipo 1/(x+a), cuja primitiva é um logaritmo. Vou explicar isso passo a passo.

Passo 3

Escrevemos a decomposição e livramos-nos dos denominadores multiplicando ambos os lados por (x+2)(x-4):
2-x = A(x-4)+B(x+2).
Isso é uma identidade em x; ela deve valer para todo x.

Passo 4

Expandimos o lado direito e igualamos coeficientes para obter um sistema linear para A\) e \(B\). Expandindo: \[A(x-4)+B(x+2)=(A+B)x+(-4A+2B).
Comparando com o lado esquerdo 2-x, que é -1\cdot x + 2, obtemos as equações
\begin{cases} A+B = -1,\\[4pt] -4A+2B = 2. \end{cases}
Resolvendo: da primeira, B=-1-A\]. Substituindo na segunda, \[-4A+2(-1-A)=2 \quad\Rightarrow\quad -4A-2-2A=2 \quad\Rightarrow\quad -6A=4.\] Logo \[A=-\tfrac{4}{6}=-\tfrac{2}{3}.\] E então \[B=-1-A=-1-(-\tfrac{2}{3})=-\tfrac{1}{3}.\] (Atalho útil: usando o método "cover-up" você poderia achar \(A avaliando (2-x)/(x-4) em x=-2 e B avaliando (2-x)/(x+2) em x=4, chegando às mesmas constantes.)]

Passo 5

Substituímos A e B na decomposição:
\frac{2-x}{(x+2)(x-4)} = -\tfrac{2}{3}\cdot\frac{1}{x+2} - \tfrac{1}{3}\cdot\frac{1}{x-4}.
Logo a integral separa em duas integrais simples:
\int \frac{2-x}{(x+2)(x-4)}\,dx = -\tfrac{2}{3}\int\frac{1}{x+2}\,dx - \tfrac{1}{3}\int\frac{1}{x-4}\,dx.

Passo 6

Agora usamos a primitiva básica: para qualquer constante a tem-se
\frac{d}{dx}\big(\ln|x+a|\big)=\frac{1}{x+a},
portanto
\int \frac{1}{x+a}\,dx=\ln|x+a|+C.
Aplicando isso termo a termo e lembrando de puxar constantes para fora da integral:
-\tfrac{2}{3}\int\frac{1}{x+2}\,dx = -\tfrac{2}{3}\ln|x+2|, \qquad -\tfrac{1}{3}\int\frac{1}{x-4}\,dx = -\tfrac{1}{3}\ln|x-4|.
Somando e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva completa.

Passo 7

Escrevendo o resultado final (pode-se também combinar os logaritmos, se preferir):
\int \frac{2-x}{(x+2)(x-4)}\,dx = -\tfrac{2}{3}\ln|x+2| - \tfrac{1}{3}\ln|x-4| + C.
Como alternativa compacta:
-\tfrac{1}{3}\ln\big(|x+2|^{2}|x-4|\big)+C,
ambas as formas são equivalentes (constante C ajusta diferenças).

Resposta

-\tfrac{2}{3}\ln|x+2| - \tfrac{1}{3}\ln|x-4| + C

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