Resolva as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (integral indefinida)
Informações dadas e observações imediatas:
o denominador é o produto de dois fatores lineares distintos:
e
. A integral é sobre uma função racional cujos fatores do denominador são lineares.
Passo 2
Escolha do método: como o grau do numerador (grau
ou
) é menor que o grau do denominador (grau
) e o denominador fatorou em fatores lineares distintos, a forma mais direta é decompor a função em frações parciais do tipo
com constantes
e
. Isso transforma a integral em somas de integrais de função do tipo
, cuja primitiva é um logaritmo. Vou explicar isso passo a passo.
Passo 3
Escrevemos a decomposição e livramos-nos dos denominadores multiplicando ambos os lados por
:
Isso é uma identidade em
; ela deve valer para todo
.
Passo 4
Expandimos o lado direito e igualamos coeficientes para obter um sistema linear para
Comparando com o lado esquerdo
, que é
, obtemos as equações
Resolvendo: da primeira,
avaliando
em
e
avaliando
em
, chegando às mesmas constantes.)]
Passo 5
Substituímos
e
na decomposição:
Logo a integral separa em duas integrais simples:
Passo 6
Agora usamos a primitiva básica: para qualquer constante
tem-se
portanto
Aplicando isso termo a termo e lembrando de puxar constantes para fora da integral:
Somando e incluindo a constante de integração
, obtemos a primitiva completa.
Passo 7
Escrevendo o resultado final (pode-se também combinar os logaritmos, se preferir):
Como alternativa compacta:
ambas as formas são equivalentes (constante
ajusta diferenças).