Para o ganho obtido no item (a), determine o erro e(t) para uma perturbação D(s)=1 / s. A velocidade varia mais que 5 \% ? Explique. Dica (Faça R(s)=0 para facilidade de cálculo).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que eu tenho:
  • Pede: para o ganho obtido no item (a) determine o erro e(t) quando a perturbação é \displaystyle D(s)=\frac{1}{s}. Depois: a velocidade varia mais que 5\%? Explique. O enunciado dá a dica: usar R(s)=0 para facilitar.
  • Informação que falta: o enunciado faz referência ao “ganho obtido no item (a)”. Eu não recebi esse valor numérico nem a função de transferência da planta. Então não posso dar um número final sem assumir algo. Vou, portanto, tratar o problema de forma simbólica, colocando o ganho do item (a) como K (controle proporcional) e a função de transferência da planta como P(s). Isso permite obter fórmulas gerais que você aplica com o K e P(s) que você tem aí.
  • Perguntas concretas que vou responder aqui: (i) obter E(s) (e, quando possível, e(t)) para D(s)=1/s e R(s)=0; (ii) obter o valor em regime permanente e_{ss}=\lim_{t\to\infty} e(t) em função de K e de P(s); (iii) traduzir a condição “velocidade varia mais que 5\%?” em uma desigualdade em K e na ganância DC da planta, de modo que você possa verificar com o K numérico do item (a).

Passo 2

Modelo do laço e onde a perturbação entra (assunção padrão):
  • Considero o laço de realimentação unitária com controlador C(s)=K (ganho proporcional) e planta P(s).
  • A perturbação D(s) é adicionada na entrada da planta (soma com a saída do controlador), que é o caso mais comum quando se fala em perturbação que “empurra” a planta (por exemplo, um torque de carga). Se a sua configuração for diferente, o procedimento é análogo, mas mudam os sinais/transferências.
  • Com essa configuração, a relação entre R(s),D(s) e o erro E(s) pode ser derivada por álgebra de blocos.

Passo 3

Derivação da expressão de E(s) em função de P(s), K e D(s):
  • Pelo diagrama: a entrada da planta é U_p(s)=K E(s) + D(s). A saída é Y(s)=P(s)U_p(s)=P(s)\big(K E(s)+D(s)\big).
  • O erro é E(s)=R(s)-Y(s). Substituindo Y(s) obtemos:
E(s)=R(s)-P(s)\big(K E(s)+D(s)\big).
  • Reorganizando:
E(s)\big(1+K P(s)\big)=R(s)-P(s)D(s).
  • Assim, a expressão geral é
\boxed{E(s)=\dfrac{R(s)-P(s)D(s)}{1+K P(s)}.}
Isto é um resultado padrão: o erro é a combinação do efeito do referência e da perturbação dividido pelo laço de sensibilidade 1+K P(s).

Passo 4

Aplicando a dica R(s)=0 e a perturbação D(s)=\dfrac{1}{s}:
  • Com R(s)=0 a expressão do passo anterior reduz para
\boxed{E(s)=-\dfrac{P(s)}{1+K P(s)}\,D(s).}
  • Substituindo D(s)=\dfrac{1}{s} obtemos a forma que precisamos inverter para o tempo:
\boxed{E(s)=-\dfrac{P(s)}{1+K P(s)}\cdot\dfrac{1}{s}.}
Essa é a expressão em domínio de Laplace do erro. Para obter e(t) no tempo precisamos conhecer P(s) explicitamente (para fazer frações parciais e aplicar a transformada inversa). Se você me der P(s) eu faço a inversa passo a passo. Enquanto isso, podemos extrair o valor em regime permanente por uma técnica simples (Teorema do Valor Final).

Passo 5

Cálculo do erro em regime permanente usando o Teorema do Valor Final:
  • O Teorema do Valor Final diz, quando aplicável (polos de sE(s) com parte real negativa):
e_{ss}=\lim_{t\to\infty} e(t)=\lim_{s\to 0} sE(s).
  • Usando a expressão de E(s) do passo anterior:
e_{ss}=\lim_{s\to 0} s\left(-\dfrac{P(s)}{1+K P(s)}\cdot\dfrac{1}{s}\right) = -\lim_{s\to 0}\dfrac{P(s)}{1+K P(s)}.
  • Definindo a ganância DC da planta como \displaystyle G_0:=P(0) (ou seja, o valor de P(s) em s=0), obtemos
\boxed{e_{ss}=-\dfrac{G_0}{\,1+K G_0\,}.}
Observações: o sinal negativo aparece porque assumimos E=R-Y e aqui R=0, logo E=-Y. Em módulo, a variação da velocidade (a saída) em regime permanente causada pela perturbação é
\boxed{y_{ss}=\dfrac{G_0}{\,1+K G_0\,}.}
(Isto é coerente: e_{ss}=-y_{ss}.)

Passo 6

Interpretação física e como verificar a condição "varia mais que 5\%" sem números específicos:
  • A variação relativa da velocidade em relação a uma unidade de escala da perturbação (aqui a perturbação é uma rampa ou degrau? Como D(s)=1/s é um degrau unitário aplicado na entrada da planta) tem valor absoluto y_{ss} dado acima.
  • Se a pergunta “A velocidade varia mais que 5\%?” significa “a variação absoluta da velocidade em regime permanente é maior que 5\% da unidade de referência considerada?”, podemos impor a desigualdade
y_{ss}=\dfrac{G_0}{1+K G_0}\le 0,05
para garantir que a variação seja menor ou igual a 5\%. Note que aqui interpreto o 5\% como 0,05 em unidade proporcional (se no seu problema o 5\% se refere a uma velocidade nominal V_{\text{nom}}, então substitua 0,05 por 0,05\,V_{\text{nom}} e repita os passos).

Passo 7

Isolando K da desigualdade para obter a condição mínima sobre o ganho:
  • Começando de
\dfrac{G_0}{1+K G_0}\le 0,05,
e assumindo G_0>0 e K\ge 0, invertemos e rearranjamos (operações válidas porque denominadores positivos):
\frac{1+K G_0}{G_0}\ge \frac{1}{0,05}=20.
  • Isso dá
\frac{1}{G_0}+K\ge 20
e, finalmente,
\boxed{K \ge 20-\dfrac{1}{G_0}.}
  • Interpretação prática: se 20-\dfrac{1}{G_0}\le 0 então qualquer K\ge 0 já garante variação menor que 5\%. Se 20-\dfrac{1}{G_0}>0 então você precisa escolher K maior ou igual a esse valor para garantir a especificação.

Passo 8

Sobre e(t) no domínio do tempo (exemplo de como proceder quando P(s) for conhecida):
  • Se você quiser o e(t) completo (não só o valor em regime permanente), pegue
E(s)=-\dfrac{P(s)}{1+K P(s)}\cdot\dfrac{1}{s},
faça a simplificação algébrica (por exemplo obtenha uma expressão racional padrão) e realize frações parciais. Depois aplique a transformada inversa de Laplace termo a termo.
  • Exemplo didático rápido: se a planta fosse de 1ª ordem P(s)=\dfrac{1}{\tau s+1}, então
E(s)=-\dfrac{1/(\tau s+1)}{1+\dfrac{K}{\tau s+1}}\cdot\dfrac{1}{s} =-\dfrac{1}{(1+K)(\tau s+1)}\cdot\dfrac{1}{s}.
Neste caso a decomposição é simples e a inversa dá uma soma de um degrau e uma exponencial, e o e_{ss}=-\dfrac{1}{1+K} (coerente com G_0=1). Se me der a P(s) real do seu exercício eu faço essa inversa detalhadamente passo a passo.

Resposta

E(s)=-\dfrac{P(s)}{1+K P(s)}\cdot\dfrac{1}{s}.
e_{ss}=-\dfrac{G_0}{1+K G_0}\quad\text{com}\quad G_0:=P(0).
\text{Para garantir que a variação da velocidade seja}\le 5\%\text{ (i.e. }y_{ss}\le 0,05\text{) exige-se } K\ge 20-\dfrac{1}{G_0}.çã

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