Para o ganho obtido no item (a), determine o erro
para uma perturbação
. A velocidade varia mais que
? Explique. Dica (Faça
para facilidade de cálculo).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que eu tenho:
- Pede: para o ganho obtido no item (a) determine o erro
quando a perturbação é . Depois: a velocidade varia mais que ? Explique. O enunciado dá a dica: usar para facilitar. - Informação que falta: o enunciado faz referência ao “ganho obtido no item (a)”. Eu não recebi esse valor numérico nem a função de transferência da planta. Então não posso dar um número final sem assumir algo. Vou, portanto, tratar o problema de forma simbólica, colocando o ganho do item (a) como
(controle proporcional) e a função de transferência da planta como . Isso permite obter fórmulas gerais que você aplica com o e que você tem aí. - Perguntas concretas que vou responder aqui: (i) obter
(e, quando possível, ) para e ; (ii) obter o valor em regime permanente em função de e de ; (iii) traduzir a condição “velocidade varia mais que ?” em uma desigualdade em e na ganância DC da planta, de modo que você possa verificar com o numérico do item (a).
Passo 2
Modelo do laço e onde a perturbação entra (assunção padrão):
- Considero o laço de realimentação unitária com controlador
(ganho proporcional) e planta . - A perturbação
é adicionada na entrada da planta (soma com a saída do controlador), que é o caso mais comum quando se fala em perturbação que “empurra” a planta (por exemplo, um torque de carga). Se a sua configuração for diferente, o procedimento é análogo, mas mudam os sinais/transferências. - Com essa configuração, a relação entre
e o erro pode ser derivada por álgebra de blocos.
Passo 3
Derivação da expressão de
em função de
,
e
:
- Pelo diagrama: a entrada da planta é
. A saída é . - O erro é
. Substituindo obtemos:
- Reorganizando:
- Assim, a expressão geral é
Isto é um resultado padrão: o erro é a combinação do efeito do referência e da perturbação dividido pelo laço de sensibilidade
.
Passo 4
Aplicando a dica
e a perturbação
:
- Com
a expressão do passo anterior reduz para
- Substituindo
obtemos a forma que precisamos inverter para o tempo:
Essa é a expressão em domínio de Laplace do erro. Para obter
no tempo precisamos conhecer
explicitamente (para fazer frações parciais e aplicar a transformada inversa). Se você me der
eu faço a inversa passo a passo. Enquanto isso, podemos extrair o valor em regime permanente por uma técnica simples (Teorema do Valor Final).
Passo 5
Cálculo do erro em regime permanente usando o Teorema do Valor Final:
- O Teorema do Valor Final diz, quando aplicável (polos de
com parte real negativa):
- Usando a expressão de
do passo anterior:
- Definindo a ganância DC da planta como
(ou seja, o valor de em ), obtemos
Observações: o sinal negativo aparece porque assumimos
e aqui
, logo
. Em módulo, a variação da velocidade (a saída) em regime permanente causada pela perturbação é
(Isto é coerente:
.)
Passo 6
Interpretação física e como verificar a condição "varia mais que
" sem números específicos:
- A variação relativa da velocidade em relação a uma unidade de escala da perturbação (aqui a perturbação é uma rampa ou degrau? Como
é um degrau unitário aplicado na entrada da planta) tem valor absoluto dado acima. - Se a pergunta “A velocidade varia mais que
?” significa “a variação absoluta da velocidade em regime permanente é maior que da unidade de referência considerada?”, podemos impor a desigualdade
para garantir que a variação seja menor ou igual a
. Note que aqui interpreto o
como
em unidade proporcional (se no seu problema o
se refere a uma velocidade nominal
, então substitua
por
e repita os passos).
Passo 7
Isolando
da desigualdade para obter a condição mínima sobre o ganho:
- Começando de
e assumindo
e
, invertemos e rearranjamos (operações válidas porque denominadores positivos):
- Isso dá
e, finalmente,
- Interpretação prática: se
então qualquer já garante variação menor que . Se então você precisa escolher maior ou igual a esse valor para garantir a especificação.
Passo 8
Sobre
no domínio do tempo (exemplo de como proceder quando
for conhecida):
- Se você quiser o
completo (não só o valor em regime permanente), pegue
faça a simplificação algébrica (por exemplo obtenha uma expressão racional padrão) e realize frações parciais. Depois aplique a transformada inversa de Laplace termo a termo.
- Exemplo didático rápido: se a planta fosse de 1ª ordem
, então
Neste caso a decomposição é simples e a inversa dá uma soma de um degrau e uma exponencial, e o
(coerente com
). Se me der a
real do seu exercício eu faço essa inversa detalhadamente passo a passo.