Calcule ou simplifique as expressões
\sqrt[3]{4\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}-\sqrt{2}\right)}=

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular ou simplificar a expressão
\sqrt[3]{4\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}-\sqrt{2}\right)}.
Informações dadas relevantes:
  • Há uma diferença dentro dos parênteses entre a fração \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} e o número \sqrt{2}.
  • O resultado dessa diferença é multiplicado por 4 e sobre tudo se aplica a raiz cúbica \sqrt[3]{\;\cdot\;}.
  • É preciso ter cuidado com o denominador \sqrt{2}-1 (verificar que não é zero).

Passo 2

Primeiro passo técnico: colocar a diferença dentro dos parênteses sobre um mesmo denominador para poder simplificar. Escrevo \sqrt{2} como uma fração com o mesmo denominador \sqrt{2}-1:
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}-\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}-1}.
A razão: para subtrair frações é preciso o mesmo denominador.

Passo 3

Agora faço a subtração das frações juntando numeradores sobre o mesmo denominador:
\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}-\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}-1}.
Desenvolvo o produto no numerador passo a passo:
\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}-\sqrt{2}\cdot 1=2-\sqrt{2}.
Então o numerador fica
\sqrt{2}-(2-\sqrt{2})=\sqrt{2}-2+\sqrt{2}=2\sqrt{2}-2.

Passo 4

Fatoro o numerador 2\sqrt{2}-2 para evidenciar um fator comum:
2\sqrt{2}-2=2(\sqrt{2}-1).
Substituindo na fração:
\frac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}-1}.
Como \sqrt{2}-1\neq 0 (de fato \sqrt{2}\approx1,414), posso cancelar o fator \sqrt{2}-1 no numerador e denominador, obtendo
\frac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}-1}=2.
Portanto o conteúdo dos parênteses simplifica para 2.

Passo 5

Volto à expressão original substituindo o que encontrei:
\sqrt[3]{4\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}-\sqrt{2}\right)} = \sqrt[3]{4\cdot 2}.
Calculo 4\cdot 2=8, então
\sqrt[3]{8}.
A raiz cúbica \sqrt[3]{\;x\;} é o número real que ao ser elevado ao cubo dá x. Como 2^3=8, tem-se
\sqrt[3]{8}=2.

Resposta

2

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