Exercício 4 Calcule \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cdot g(x) em que g(x)=\left\{\begin{array}{c}1 \text { se } x \in \mathbb{Q} \\\\ -1 \text { se } x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} x^{2}\cdot g(x)
onde a função g\) é dada por \[g(x)=\begin{cases} 1 &\text{se } x\in\mathbb{Q},\\[4pt] -1 &\text{se } x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}. \end{cases}
Vou listar claramente as informações que temos:
  • Para todo x\in\mathbb{R}\], \(g(x) vale sempre ou 1 ou -1.
  • A expressão a estudar é o produto x^{2}\cdot g(x).
    O objetivo é encontrar o valor do limite quando x se aproxima de 0.]

Passo 2

Primeiro vamos observar uma propriedade simples, mas fundamental, de g: como g(x) só pode ser 1 ou -1, para todo x vale
|g(x)|=1,
portanto também
-1 \le g(x) \le 1.
Isso significa que g é uma função limitada (bounded): seus valores estão sempre entre -1 e 1.

Passo 3

Agora multiplico a desigualdade -1\le g(x)\le 1 pelo número não negativo x^{2} (note que x^{2}\ge 0 para todo x, então a direção das desigualdades se mantém). Assim obtenho, para todo x,
-x^{2} \le x^{2}\,g(x) \le x^{2}.
Essa desigualdade é crucial: ela “aprisiona” x^{2}g(x) entre duas funções simples, -x^{2} e x^{2}.

Passo 4

Calculo os limites das funções que estão nas bordas desse aprisionamento quando x\to 0. Como a função x\mapsto x^{2} é contínua em 0, tem-se
\lim_{x\to 0} x^{2} = 0
e, consequentemente,
\lim_{x\to 0} (-x^{2}) = 0.
Portanto as duas funções que limitam x^{2}g(x) têm o mesmo limite 0 quando x\to 0.

Passo 5

Aplico o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze Theorem). Ele diz: se para todo x em algum vizinhança de 0 vale
h_1(x)\le f(x)\le h_2(x)
e
\lim_{x\to 0} h_1(x)=\lim_{x\to 0} h_2(x)=L,
então \lim_{x\to 0} f(x)=L. No nosso caso f(x)=x^{2}g(x), h_1(x)=-x^{2}, h_2(x)=x^{2} e já vimos que ambos têm limite 0. Logo, pelo Teorema do Confronto, o limite buscado é 0.

Passo 6

Intuição curta e exemplos para fixar: apesar de g(x) oscilar violentamente entre 1 e -1 (essa oscilação não tem limite quando x\to 0), o fator x^{2} “anula” essa oscilação porque tende a 0 rápido; multiplicando uma oscilação limitada por algo que vai a 0 faz o produto ir para 0. Exemplo parecido: \lim_{x\to 0} x\sin(1/x)=0 porque |\sin(1/x)|\le 1 e -x\le x\sin(1/x)\le x.

Resposta

0

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