Calcule
e
, com o ângulo em radianos, utilizando série de Taylor em torno de 0 , com uma aproximação de (i) primeira ordem e (ii) uma aproximação de terceira ordem. (iii) Compare com os resultados aproximados com o resultado exato.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre calcular o seno de 0,15 e 0,3 radianos usando a série de Taylor. A série de Taylor é uma maneira de aproximar funções, e aqui vamos usá-la para aproximar o seno. Vamos precisar entender como expandir o seno em série de Taylor em torno de 0 e aplicar as aproximações de primeira e terceira ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a série de Taylor para o seno funciona. A expansão em torno de 0 (também conhecida como série de Maclaurin) para
é:
Cada termo adicional melhora a precisão da aproximação.
Passo 3
Para a aproximação de primeira ordem, a gente usa apenas o primeiro termo da série. Então, temos:
Isso significa que para valores pequenos de
, o seno é aproximadamente igual ao próprio
.
Passo 4
Vamos aplicar a aproximação de primeira ordem para
e
:
Passo 5
Agora, para a aproximação de terceira ordem, usamos os três primeiros termos da série de Taylor:
Isso adiciona um pouco mais de precisão considerando o termo cúbico.
Passo 6
Aplicando a aproximação de terceira ordem para
:
E para
:
Passo 7
Agora, vamos comparar essas aproximações com os valores exatos calculados usando uma calculadora:
Comparando:
- Primeira ordem:
-
vs. exato – diferença de cerca de . -
vs. exato – diferença de cerca de .
-
- Terceira ordem:
-
vs. exato – diferença de aproximadamente . -
vs. exato – diferença de cerca de .
-
Resposta
Usando a série de Taylor:
- Aproximação de primeira ordem:
-
- Aproximação de terceira ordem:
-
-
Os valores de terceira ordem estão muito próximos dos valores exatos:e .
-