Calcule (sin 0,15) e (sin 0,3), com o ângulo em radianos, utilizando série de Taylor em torno de 0 , com uma aproximação de (i) primeira ordem e (ii) uma aproximação de terceira ordem. (iii) Compare com os resultados aproximados com o resultado exato.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre calcular o seno de 0,15 e 0,3 radianos usando a série de Taylor. A série de Taylor é uma maneira de aproximar funções, e aqui vamos usá-la para aproximar o seno. Vamos precisar entender como expandir o seno em série de Taylor em torno de 0 e aplicar as aproximações de primeira e terceira ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a série de Taylor para o seno funciona. A expansão em torno de 0 (também conhecida como série de Maclaurin) para sin(x) é:
sin(x) = x - x^33! + x^55! - x^77! + dots
Cada termo adicional melhora a precisão da aproximação.

Passo 3

Para a aproximação de primeira ordem, a gente usa apenas o primeiro termo da série. Então, temos:
sin(x) approx x
Isso significa que para valores pequenos de x, o seno é aproximadamente igual ao próprio x.

Passo 4

Vamos aplicar a aproximação de primeira ordem para x = 0,15 e x = 0,3:
sin(0,15) approx 0,15
sin(0,3) approx 0,3

Passo 5

Agora, para a aproximação de terceira ordem, usamos os três primeiros termos da série de Taylor:
sin(x) approx x - x^33!
Isso adiciona um pouco mais de precisão considerando o termo cúbico.

Passo 6

Aplicando a aproximação de terceira ordem para x = 0,15:
sin(0,15) approx 0,15 - (0,15)^36 = 0,15 - 0,0033756 = 0,15 - 0,0005625 = 0,1494375
E para x = 0,3:
sin(0,3) approx 0,3 - (0,3)^36 = 0,3 - 0,0276 = 0,3 - 0,0045 = 0,2955

Passo 7

Agora, vamos comparar essas aproximações com os valores exatos calculados usando uma calculadora:
sin(0,15) approx 0,149438 (exato)
sin(0,3) approx 0,295520 (exato)
Comparando:
  • Primeira ordem:
    • sin(0,15) approx 0,15 vs. exato 0,149438 – diferença de cerca de 0,000562.
    • sin(0,3) approx 0,3 vs. exato 0,295520 – diferença de cerca de 0,00448.
  • Terceira ordem:
    • sin(0,15) approx 0,1494375 vs. exato 0,149438 – diferença de aproximadamente 0,0000005.
    • sin(0,3) approx 0,2955 vs. exato 0,295520 – diferença de cerca de 0,00002.

Resposta

Usando a série de Taylor:
  • Aproximação de primeira ordem:
    • sin(0,15) approx 0,15
    • sin(0,3) approx 0,3
  • Aproximação de terceira ordem:
    • sin(0,15) approx 0,1494375
    • sin(0,3) approx 0,2955
      Os valores de terceira ordem estão muito próximos dos valores exatos: sin(0,15) approx 0,149438 e sin(0,3) approx 0,295520.

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